Problema con massimi e minimi vincolati
Vi propongo un altro esercizio di ottimizzazione vincolata , sempre in preparazione del maledetto esame.
Si consideri la funzione $f(x,y)=3x^2 +4y^2 −12x$ e la regione $D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}$.
Calcolare i massimi ed i minimi vincolati sul bordo di D. Esistono punti estremali di f all’interno di D? Se si quali?
Come suggerisce il testo , devo spezzare il dominio el suo interno e nel suo bordo ; inizio a considerare l’interno.
1) INTERNO
$D_1 = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 <1}$. Questo è un problema di ottimizzazione libera che risolvo trovando i punti critici , ossia I punti che annullano il gradiente ;
$\nabla f = (6x-12,8y)$
Mi calcolo le derivate parziali seconde miste e la matrice Hessiana nel punto critico (2,0) e , poiché il determinante è positivo e $(\partial^2 f)/(\partial x^2) >0$ la forma quadratica è definita positiva e il punto (2,0) è un minimo.
2) BORDO
$\partial D = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 =1}$. Qui è più complicate. Posso risolverlo con I moltoplicatori di Lagrande o parametrizzando , ho volute provare la seconda via.
Una parametrizzazione è $k(t)=(cost,sent)$ con $t \in [0,2 \pi]$.
Quindi $f(k(t)) =3cos^2 t +4sen^2 t −12cos t $
Calcolo la derivate prima per trovare i punti critici :
$ f(k(t)) ‘ =-6costsent +8sentcost +12sen t $ = $2sentcost + 12 sent$.
Se fin qui è giusto , avrei dei problemi a proseguire...Grazie
PS Ho provato a farlo con i moltiplicatori di Lagrange ma mi esce impossibbile il sistema
Si consideri la funzione $f(x,y)=3x^2 +4y^2 −12x$ e la regione $D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}$.
Calcolare i massimi ed i minimi vincolati sul bordo di D. Esistono punti estremali di f all’interno di D? Se si quali?
Come suggerisce il testo , devo spezzare il dominio el suo interno e nel suo bordo ; inizio a considerare l’interno.
1) INTERNO
$D_1 = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 <1}$. Questo è un problema di ottimizzazione libera che risolvo trovando i punti critici , ossia I punti che annullano il gradiente ;
$\nabla f = (6x-12,8y)$
Mi calcolo le derivate parziali seconde miste e la matrice Hessiana nel punto critico (2,0) e , poiché il determinante è positivo e $(\partial^2 f)/(\partial x^2) >0$ la forma quadratica è definita positiva e il punto (2,0) è un minimo.
2) BORDO
$\partial D = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 =1}$. Qui è più complicate. Posso risolverlo con I moltoplicatori di Lagrande o parametrizzando , ho volute provare la seconda via.
Una parametrizzazione è $k(t)=(cost,sent)$ con $t \in [0,2 \pi]$.
Quindi $f(k(t)) =3cos^2 t +4sen^2 t −12cos t $
Calcolo la derivate prima per trovare i punti critici :
$ f(k(t)) ‘ =-6costsent +8sentcost +12sen t $ = $2sentcost + 12 sent$.
Se fin qui è giusto , avrei dei problemi a proseguire...Grazie
PS Ho provato a farlo con i moltiplicatori di Lagrange ma mi esce impossibbile il sistema
Risposte
Non ho controllato i calcoli, ma a quel punto ti basta raccogliere $2sin t$. Sono d'accordo che ti viene una brutta arcotangente, ma... c'est la vie!
Come fa a venirti impossibile il sistema?
Per lordb ...
provo a scrivere il metodo coi moltiplicatori di Lagrange ...ci sarà sicuramente un errore ; il sistema è il seguente :
$\{(6x-12 = \lambda 2x),(8y=\lambda 2y),(x^2 + y^2 = 1):} ->{(6x-12 = 8x),(\lambda =4),(x^2 + y^2 = 1):} ->{(x=-6 ),(8y=\lambda 2y),(36+y^2 = 1???):}$
Ecco...
provo a scrivere il metodo coi moltiplicatori di Lagrange ...ci sarà sicuramente un errore ; il sistema è il seguente :
$\{(6x-12 = \lambda 2x),(8y=\lambda 2y),(x^2 + y^2 = 1):} ->{(6x-12 = 8x),(\lambda =4),(x^2 + y^2 = 1):} ->{(x=-6 ),(8y=\lambda 2y),(36+y^2 = 1???):}$
Ecco...
oppure $y=0$ 
Quindi con $y=0$ trovo i punti $(1,0),(-1,0)$ . Adesso devo valutare la funzione in questi punti e il gioco è fatto ? 
Yes
Grandissimi !! Grazie
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