Problema con massimi e minimi assoluti
buonasera,
l'esercizio in questione è :
$ f(x,y)=xy-3(y^3)-2y $
con dominio dato da testo
$ D={(x,y): x>=3y^2-6 , x<=3} $
allora il mio svolgimento è il seguente :
il campo di esistenza della funzione mi risulta $ RR^2 $
il dominio in esame è poi l'area compresa tra la parabola $ x>=3y^2-6 $ e la retta $ y<=3 $ quindi insieme chiuso e limitato e vale weiestrass.
l'intersezione tra la retta e la parabola mi da due punti $ a(3 , sqrt(3)) b(3 , -sqrt(3)) $
procedo con il calcolo del gradiente con il quale trovo un punto critico interno al dominio $ c(2,0) $
nello studio di frontiera della retta trovo due punti $ d(3, 1/3) e(3 , -1/3) $
tutti questi punti poi andrò a sostituirli nella funzione per ricavare il massimo il minimo assoluto
il mio problema è quando vado a fare lo studio di frontiera della parabola :
$ F= -8y $e derivandolo $F'=-8$ ma $-8=0 $ e risulta impossibile... non capisco cosa significa...
grazie in anticipo
l'esercizio in questione è :
$ f(x,y)=xy-3(y^3)-2y $
con dominio dato da testo
$ D={(x,y): x>=3y^2-6 , x<=3} $
allora il mio svolgimento è il seguente :
il campo di esistenza della funzione mi risulta $ RR^2 $
il dominio in esame è poi l'area compresa tra la parabola $ x>=3y^2-6 $ e la retta $ y<=3 $ quindi insieme chiuso e limitato e vale weiestrass.
l'intersezione tra la retta e la parabola mi da due punti $ a(3 , sqrt(3)) b(3 , -sqrt(3)) $
procedo con il calcolo del gradiente con il quale trovo un punto critico interno al dominio $ c(2,0) $
nello studio di frontiera della retta trovo due punti $ d(3, 1/3) e(3 , -1/3) $
tutti questi punti poi andrò a sostituirli nella funzione per ricavare il massimo il minimo assoluto
il mio problema è quando vado a fare lo studio di frontiera della parabola :
$ F= -8y $e derivandolo $F'=-8$ ma $-8=0 $ e risulta impossibile... non capisco cosa significa...
grazie in anticipo
Risposte
"neril_s":
buonasera,
l'esercizio in questione è :
$ f(x,y)=xy-3(y^3)-2y $
con dominio dato da testo
$ D={(x,y): x>=3y^2-6 , y<=3} $
allora il mio svolgimento è il seguente :
il campo di esistenza della funzione mi risulta $ RR^2 $
il dominio in esame è poi l'area compresa tra la parabola $ x>=3y^2-6 $ e la retta $ y<=3 $ quindi insieme chiuso e limitato e vale weiestrass.
l'intersezione tra la retta e la parabola mi da due punti $ a(3 , sqrt(3)) b(3 , -sqrt(3)) $
Ciao neril
faccio un po' fatica a capire...
mi sembra di avere a che fare con una parabola con asse orizzontale (non verticale), mentre l'altro vincolo è dato dal semipiano delimitato da una retta orizzontale ($y<=3$) poi nelle intersezioni metti il 3 in corrispondenza delle ascisse... per caso nel testo era $x<=3$?
si scusami sono un pò maldestra è $x<=3$
ho rimodificato il testo correttamente
ho rimodificato il testo correttamente
Bene.
Sono d'accordo su tutto. Ti consiglio di fare comunque uno studio del segno, anche se non è richiesto. Ti aiuterà a capire ad esempio la natura del punto $C(2;0)$ (ricorda di scrivere sempre i punti con lettere maiuscole). Per scrivere quanto vale una funzione in corrispondenza di un determinato punto $P(x_P;y_P)$ scrivi $f(x_P;y_P)=...$
Per quanto riguarda la parabola che fa da frontiera al dominio, direi che se la derivata vale -8 significa che è sempre negativa e percorrendo quella parabola (secondo le y crescenti) i valori della funzione diminuiscono sempre. Di questo però è bene chiedere conferma a utenti più in gamba di me.
Sono d'accordo su tutto. Ti consiglio di fare comunque uno studio del segno, anche se non è richiesto. Ti aiuterà a capire ad esempio la natura del punto $C(2;0)$ (ricorda di scrivere sempre i punti con lettere maiuscole). Per scrivere quanto vale una funzione in corrispondenza di un determinato punto $P(x_P;y_P)$ scrivi $f(x_P;y_P)=...$
Per quanto riguarda la parabola che fa da frontiera al dominio, direi che se la derivata vale -8 significa che è sempre negativa e percorrendo quella parabola (secondo le y crescenti) i valori della funzione diminuiscono sempre. Di questo però è bene chiedere conferma a utenti più in gamba di me.
"gio73":
Bene.
Sono d'accordo su tutto. Ti consiglio di fare comunque uno studio del segno, anche se non è richiesto. Ti aiuterà a capire ad esempio la natura del punto $C(2;0)$ (ricorda di scrivere sempre i punti con lettere maiuscole). Per scrivere quanto vale una funzione in corrispondenza di un determinato punto $P(x_P;y_P)$ scrivi $f(x_P;y_P)=...$
Per quanto riguarda la parabola che fa da frontiera al dominio, direi che se la derivata vale -8 significa che è sempre negativa e percorrendo quella parabola (secondo le y crescenti) i valori della funzione diminuiscono sempre. Di questo però è bene chiedere conferma a utenti più in gamba di me.
si in teoria per $-sqrt(3)<=y<=sqrt(3)$ la mia $f(x,y)$ dovrebbe essere monotona decrescente e questo è collegato al fatto che la derivata valga -8 ma proprio non riesco a capire il perchè ...in effetti sostituendo i punti $A$ e $B$ torna che la funzione sia monotona decrescente per la sua definizione ma non capisco cosa c'entra con il risultato della derivata...vuol dire che su tutta la frontiera della parabola ho punti di minimo assoluto?
per controesempio ipotizzando che mi fosse tornato un valore positivo (es. +8) voleva dire che tutti i punti sulla frontiera della parabola erano di massimo???
mmm
Immagina di fare una passeggiata in campagna e di percorrere quel sentiero a forma di parabola partendo dal punto A e arrivando al punto B, la strada sarà sempre in discesa, ma ciascun punto non è un minimo assoluto perché il passo dopo sei scesa ancora un po'
Se la derivata fosse stata un numero positivo allora la strada saliva sempre
Il punto però è che non ho la certezza di aver interpretato correttamente, chiamerò i rinforzi.
Immagina di fare una passeggiata in campagna e di percorrere quel sentiero a forma di parabola partendo dal punto A e arrivando al punto B, la strada sarà sempre in discesa, ma ciascun punto non è un minimo assoluto perché il passo dopo sei scesa ancora un po'
Se la derivata fosse stata un numero positivo allora la strada saliva sempre
Il punto però è che non ho la certezza di aver interpretato correttamente, chiamerò i rinforzi.
Invocato da gio, arrivo in soccorso. La condizione sulla parabola è esattamente come ti ha già spiegato gio, però vediamo di formalizzare meglio.
Per prima cosa, quando ci si restringe alle curve, la scelta delle parametrizzazioni va fatta in modo che, partendo da un punto, si percorra tutto il bordo sempre nello stesso senso. Partiamo allora dal punto $B(3,-\sqrt{3})$: abbiamo le parametrizzazioni seguenti
parabola $(3t^2-6,t)$ dove $t\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ (in questo modo percorriamo la parabola partendo da $B$ e finendo in $A$)
e questo ci costringe a scegliere per la retta la parametrizzazione seguente (ce ne sono varie, ne indico una immediata - più o meno)
retta $(3,-t)$ con $t\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ (per cui la retta è percorsa dal punto $A$ al punto $B$)
Fatto questo le restrizioni della funzione risultano
$F_p(t)=-8t,\qquad t\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$
$F_r(t)=3t^3-t,\qquad t\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$
Ora, per la prima funzione abbiamo $F'_p(t)=-8$ il che implica che quando partiamo da $B$ e giungiamo ad $A$ seguendo il percorso della parabola, continueremo a scendere (funzione decrescente) senza interruzioni: questo implica che, almeno seguendo il percorso parabolico, il punto $B$ risulta un massimo rispetto al punto $A$ che è un minimo (per il momento, solo relativi perché non sappiamo cosa accade lungo la retta).
Per la seconda funzione invece $F'_r(t)=9t^2-1$ e quindi, una rapida analisi, ci convince che tale funzione (ricordate le limitazioni per la $t$)
cresce su $[-\sqrt{3},-1/3)\cup(1/3,\sqrt{3}]$
decresce su $(-1/3,1/3)$
presenta massimi per $t=-1/3,\ t=\sqrt{3}$
presenta minimi per $t=1/3,\ -\sqrt{3}$
A questo punto possiamo concludere quanto segue
per $t=-\sqrt{3}$ si ha il punto $A$ (sulla retta) che risulterà un minimo assoluto (essendo minimo anche lungo la parabola) e si verifica che $F(A)=-8\sqrt{3}$
per $t=-1/3$ si ha $D(3,1/3)$ che risulta un massimo relativo e si ha $F(D)=2/9$
per $t=1/3$ si ha $E(3,-1/3)$ che risulta un minimo relativo e si ha $F(E)=2/9$
per $t=\sqrt{3}$ si ritorna al punto $B$ che è un massimo assoluto (essendolo anche lungo la parabola) e si ha $F(B)=8\sqrt{3}$
Spero sia chiaro (e faccio notare che ho solo formalizzato ciò che gio aveva già spiegato intuitivamente).
Per prima cosa, quando ci si restringe alle curve, la scelta delle parametrizzazioni va fatta in modo che, partendo da un punto, si percorra tutto il bordo sempre nello stesso senso. Partiamo allora dal punto $B(3,-\sqrt{3})$: abbiamo le parametrizzazioni seguenti
parabola $(3t^2-6,t)$ dove $t\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ (in questo modo percorriamo la parabola partendo da $B$ e finendo in $A$)
e questo ci costringe a scegliere per la retta la parametrizzazione seguente (ce ne sono varie, ne indico una immediata - più o meno)
retta $(3,-t)$ con $t\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ (per cui la retta è percorsa dal punto $A$ al punto $B$)
Fatto questo le restrizioni della funzione risultano
$F_p(t)=-8t,\qquad t\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$
$F_r(t)=3t^3-t,\qquad t\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$
Ora, per la prima funzione abbiamo $F'_p(t)=-8$ il che implica che quando partiamo da $B$ e giungiamo ad $A$ seguendo il percorso della parabola, continueremo a scendere (funzione decrescente) senza interruzioni: questo implica che, almeno seguendo il percorso parabolico, il punto $B$ risulta un massimo rispetto al punto $A$ che è un minimo (per il momento, solo relativi perché non sappiamo cosa accade lungo la retta).
Per la seconda funzione invece $F'_r(t)=9t^2-1$ e quindi, una rapida analisi, ci convince che tale funzione (ricordate le limitazioni per la $t$)
cresce su $[-\sqrt{3},-1/3)\cup(1/3,\sqrt{3}]$
decresce su $(-1/3,1/3)$
presenta massimi per $t=-1/3,\ t=\sqrt{3}$
presenta minimi per $t=1/3,\ -\sqrt{3}$
A questo punto possiamo concludere quanto segue
per $t=-\sqrt{3}$ si ha il punto $A$ (sulla retta) che risulterà un minimo assoluto (essendo minimo anche lungo la parabola) e si verifica che $F(A)=-8\sqrt{3}$
per $t=-1/3$ si ha $D(3,1/3)$ che risulta un massimo relativo e si ha $F(D)=2/9$
per $t=1/3$ si ha $E(3,-1/3)$ che risulta un minimo relativo e si ha $F(E)=2/9$
per $t=\sqrt{3}$ si ritorna al punto $B$ che è un massimo assoluto (essendolo anche lungo la parabola) e si ha $F(B)=8\sqrt{3}$
Spero sia chiaro (e faccio notare che ho solo formalizzato ciò che gio aveva già spiegato intuitivamente).
grazie Ciampax
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