Problema con maggiorazioni.limiti.

[gedo1991]

come posso maggiorare questa funzione a 2 variabili? ci sto sbariando da giorni, ma non mi viene nulla in mente.

$ye^(-1/x^2)$ dove è è il numero di Nepero. In realtà devo controllare se tale funzione converge in (0,0) con l'uso dei limiti.Dai vari calcoli da me effettuati il limite a 2 variabili dovrebbe esistere e dare come valore proprio 0.Ma non riesco a maggiorare per inserirlo nella definzione stessa e dunque dimostrare l esistenza del limite suddetto.QUALCHE AIUTO sarebbe ben accettato.GRAZIE

[Giuly191]

Prova a disegnare la funzione di una sola variabile $e^(-1/x^2)$.
è molto più facile di quanto, probabilmente, tu stia pensando.

[gedo1991]

anche disegnandola non ci arrivo, mi dispiace...

[Giuly191]

$0 < e^(-1/x^2) < 1$ per ogni $x in RR$, $x != 0$ .

[gedo1991]

dunque e^(-1/x^2)<1.giusto?...NON era poi cosi complicato come pensavo, avevi ragione.Ora dovrei sfruttare la definizione di limite per arrivare ad affermare che il limite cercato è proprio 0.
Procedo in questo modo:
$|ye^-(1/x^2)-0|=|ye^-(1/x^2)|<|y|$
ora:
$|y|=sqrt(y^2)<=sqrt(x^2+y^2) $.
Per cui posto:
S(delta)=3(sigma) si ottiene

$sqrt(x^2+y^2)

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[gedo1991]

3=epsilon

[gedo1991]

up

[gedo1991]

giuly aiutami per favore..

[Giuly191]

In realtà nella definizione di limite ti basta porre $delta=epsilon$ (va benissimo anche un $delta$ molto più piccolo, ma a noi interessa che esista in $RR$).
Quello che scrivi tu ha poco senso, non capisco a che ti serva fare quella maggiorazione ($|y| < = sqrt(x^2+y^2)$), che è vera ma non serve a nulla, perchè ti riporti a considerare una funzione di due variabili. Una volta che hai ottenuto $|f(x,y)|<= |y|$ puoi concludere che il siccome $|y| -> 0 $ per $(x,y)-> (0,0) $ quel limite è uniformemente $0$. Anche quello che hai scritto mi pare errato concettualmente, tu devi trovare un $delta$ per ogni $epsilon$ fissato, ma se lì $S$ non è fissato, non è vero che $|y e ^-(1/x^2)| < 3$.
Se non cancelli tutti quegli up prima che un moderatore li veda mi sa che ti sospendo per 24 ore..

[gedo1991]

allora non sapendo come si scrivesse l epsilon l ho indicato con il simbolo 3.La maggiorazione che ho fatto mi serve per sfruttare la definizione di limite stesso,
poichè se $sqrt(x^2-y^2)<(delta)$ sempre considerando il fatto che $delta=epsilon$ abbiamo che $|ye^-(1/x^2)|<(epsilon)$ che equivale alla definizione di limite stesso e pertanto è verificato.Cosi ho ragionato.Chiedo conferma.Il testo cui faccio riferimento per la definizione è il marcellini-sbordone.

[Giuly191]

Allora posso anche dartelo per buono, ma rimane la maggiorazione inutile che hai fatto. (Tra l'altro nell'ultimo post hai sbagliato un segno).

[gedo1991]

si, sono d accordo che ho sbagliato un segno sotto la radice,però non capisco perchè continui a ripetere che la maggiorazione è inutile.

[Giuly191]

Cerca allora di spiegarmi perchè dovrebbe essere indispensabile, le mie motivazione te le ho date.
Ho però scritto una cosa sbagliata: nella definizione di continuità il $delta$ più piccolo che è possibile prendere per ogni $epsilon$ fissato è $delta=epsilon$ e non più piccolo.

[gedo1991]

Hai ragione a dire che sia inutile a stabilire il valore del limite cui si giunge osservando che la funzione in considerazione è minore di una funzione che converge a zero,dunque anch'essa converge a 0,ma è utile per dimostrarlo sfruttando la definizione stessa di limite.

[gedo1991]

credo...xD

[Giuly191]

Dunque:
$lim_( ul(x)-> ul(0)) f(ul(x)) = 0 $ $ <=> $ per ogni $epsilon>0$ esiste $delta>0$ tale che per ogni $ul(x)$ per cui $||ul(x)||< delta $ si abbia $|f(ul(x))|< epsilon$. ($ul(x)=(x,y)$)
Nel nostro caso $|f(ul(x))| < |y| ( = f(y) ) $, quindi sicuramente sei io scelgo $delta=epsilon$ la definizione è soddisfatta perchè.. (e ora che ci penso in effetti il motivo è proprio quello XD).
Quindi avevi ragione tu, sarà che all'inizio avevo capito male quello che avevi scritto. Nei messaggi successivi eri stato poco chiaro, ma all'inizio si capiva bene (l'ho riletto ora). Ps: prova a usare il codice, scrivi tra $ le formule per fare prima; per le lettere greche ti basta scrivere il nome della lettera.

[gedo1991]

scusa giuly,ma questa maggiorazione è corretta?

$|(x^2+y^2)/(|x|+|y|)|<=$$|x x/(|x|+|y|)+y y/(|x|+|y|)|<=$$|x+y|$

[Giuly191]

Dunque il primo $<=$ che hai scritto è in realtà un $=$, però puoi usare la disuguaglianza triangolare così:
$|x x/(|x|+|y|) + y y/(|x|+|y|)| <= |x||x/(|x|+|y|)|+|y||y/(|x|+|y|)| <= |x|+|y|$.
Oppure puoi lasciare l'uguaglianza e dire:
$|x x/(|x|+|y|) + y y/(|x|+|y|)| <= |x+y|$ ($<= |x|+|y|$).

[gedo1991]

e da qui per (x,y) che tendono a (0,0) posso affermare che la funzione di partenza tende a zero poichè minore di una funzione che tende a zero per gli stessi parametri senza usare la nozione di limite?

[Giuly191]

La nozione di limite sta sempre alla base, se vuoi essere preciso come prima puoi dire:
$|f(x,y)|<=|x|+|y| <= 2 sqrt(x^2+y^2) = 2||((x,y))|| $, quindi la definizione di limite è soddisfatta ponendo $delta=2epsilon$.

[gedo1991]

ti ringrazio molto...