Problema con l'uso di Lagrange
Salve ragazzi, ho un problema che non riesco ad impostare.
Tralasciando il primo punto, dove posso semplicemente affermare che essendo un insieme compatto, esistono massimi e minini per Weistress, non so poi come proseguire.
Verifico che non vi sono ne punti stazionari, ne punti singolari, quindi sicuramente i miei massimi e minimi sono sul bordo.
Dunque dovrei procedere con Lagrange utilizzando l'equazione \(\displaystyle x^3+y^3=1 \)
Il mio problema sorge poiché non so come utilizzare le due disequazioni \(\displaystyle x\geq0, y\geq0 \)
Non so proprio come inserirle nel sistema di Lagrange
Mi spiego meglio, so che sicuramente all'interno del mio insieme non ho ne massimi ne minimi(poiché non ho ne punti stazionari, ne punti singolari) dunque dovrei usare le equazioni \(\displaystyle x=0, y=0 \) ma inserendole nel sistema, mi viene impossibile
Qualcuno può spiegarmi i passaggi da effettuare?
Tralasciando il primo punto, dove posso semplicemente affermare che essendo un insieme compatto, esistono massimi e minini per Weistress, non so poi come proseguire.
Verifico che non vi sono ne punti stazionari, ne punti singolari, quindi sicuramente i miei massimi e minimi sono sul bordo.
Dunque dovrei procedere con Lagrange utilizzando l'equazione \(\displaystyle x^3+y^3=1 \)
Il mio problema sorge poiché non so come utilizzare le due disequazioni \(\displaystyle x\geq0, y\geq0 \)
Non so proprio come inserirle nel sistema di Lagrange
Mi spiego meglio, so che sicuramente all'interno del mio insieme non ho ne massimi ne minimi(poiché non ho ne punti stazionari, ne punti singolari) dunque dovrei usare le equazioni \(\displaystyle x=0, y=0 \) ma inserendole nel sistema, mi viene impossibile
Qualcuno può spiegarmi i passaggi da effettuare?
Risposte
Semplicemente dovrai scartare tutti i punti che non si trovano nel primo quadrante.
Potresti parametrizzare il bordo, volendo, e vedere su quale punto assume il massimo o il minimo.
Mi viene un massimo in $(1/root(3)(2),1/root(3)(2))$
Ti viene con la curva $phi:[0,1]->RR^2$ e $phi(t)=(t,root(3)(1-t^3))$
E $fcircphi$ manda i punti direttamente sul bordo.
Mi viene un massimo in $(1/root(3)(2),1/root(3)(2))$
Ti viene con la curva $phi:[0,1]->RR^2$ e $phi(t)=(t,root(3)(1-t^3))$
E $fcircphi$ manda i punti direttamente sul bordo.
Quel massimo l'ho trovato anche io, il problema è trovare il minimo
Potrei dire intuitivamente che un possibile minimo è (0,0)
Ma se lo volessi dimostrare utilizzando il sistema con Lagrange, come dovrei fare?
Potrei dire intuitivamente che un possibile minimo è (0,0)
Ma se lo volessi dimostrare utilizzando il sistema con Lagrange, come dovrei fare?
Ma il punto di minimo è per forza di cose $(0,0)$
Di fatto $f(0,0)=0$ e $f(0,0)leqf(x,y),forall(x,y) inA$
Visto che i vincoli impongono che sia $xgeq0,ygeq0$
Di fatto $f(0,0)=0$ e $f(0,0)leqf(x,y),forall(x,y) inA$
Visto che i vincoli impongono che sia $xgeq0,ygeq0$
Ma se io volessi mettere tutto a sistema, c'è un modo per procedere meccanicamente?
Un metodo che possa essere applicato sempre in qualsiasi situazione mi trovi davanti?
So che cercare un metodo meccanico in un forum di matematica è un po' paradossale, ma il nostro professore ci ha introdotto Lagrange e il sistema con i moltiplicatori come un sistema meccanico in grado di risolvere qualsiasi esercizio sui massimi e minimi in un compatto
Un metodo che possa essere applicato sempre in qualsiasi situazione mi trovi davanti?
So che cercare un metodo meccanico in un forum di matematica è un po' paradossale, ma il nostro professore ci ha introdotto Lagrange e il sistema con i moltiplicatori come un sistema meccanico in grado di risolvere qualsiasi esercizio sui massimi e minimi in un compatto
Eh qui hai vincoli introdotto da più condizioni...per usare lagrange devi considerare i vari vincoli ognuno per conto proprio e poi considerare le restrizioni introdotte dagli altri vincoli...un lavoraccio, in questi casi la generlizzazione al metodo di Lagrange è il metodo dei moltiplicatori di Kuhn-Tucker
1) Prendi il vincolo $x^3+y^3=1$, ci applichi lagrange, trovi i punti che lo soddisfano, e verifichi che tali punti soddisfino gli altri due vincoli x>=0 e y>=0
2) Prendi il vincolo x=0, ci applichi lagrange, trovi i punti che lo soddisfano e verifichi che tali punti soddisfino gli altri due vincoli y>=0 e x^3+y^3<=1
3) Prendi il vincolo y=0, ci applichi Lagrange, trovi i punti che lo soddisfano e verifichi che tali punti soddisfino gli altri due vincoli x>=0 e x^3+y^3<=1
Ma se io volessi mettere tutto a sistema, c'è un modo per procedere meccanicamente?
1) Prendi il vincolo $x^3+y^3=1$, ci applichi lagrange, trovi i punti che lo soddisfano, e verifichi che tali punti soddisfino gli altri due vincoli x>=0 e y>=0
2) Prendi il vincolo x=0, ci applichi lagrange, trovi i punti che lo soddisfano e verifichi che tali punti soddisfino gli altri due vincoli y>=0 e x^3+y^3<=1
3) Prendi il vincolo y=0, ci applichi Lagrange, trovi i punti che lo soddisfano e verifichi che tali punti soddisfino gli altri due vincoli x>=0 e x^3+y^3<=1
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