Problema con lo studio di una derivata prima
Salve a tutti. La funzione da derivare è:
$x arctan ( sqrt (x^2-1) )$
La derivata che ottengo è:
$arctan (sqrt (x^2-1) ) + x/ (/2-x^2) $
La domanda che ho è...Come faccio a studiarla?
Se avessi avuto $arctan x$ avrei detto che l'arctan è maggiore di 0 per x>0, è lo stesso principio qui? argomento dell'arcotangente maggiore di zero?
$x arctan ( sqrt (x^2-1) )$
La derivata che ottengo è:
$arctan (sqrt (x^2-1) ) + x/ (/2-x^2) $
La domanda che ho è...Come faccio a studiarla?
Se avessi avuto $arctan x$ avrei detto che l'arctan è maggiore di 0 per x>0, è lo stesso principio qui? argomento dell'arcotangente maggiore di zero?
Risposte
Mmmmm... a me la derivata viene
[tex]$\arctan\left(\sqrt{x^2-1}\right)+\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$[/tex]
Ora direi che basta ragionare così: visto che la radice per definizione è sempre maggiore e uguale a zero, segue che i due addendi sono rispettivamente maggiore uguale maggiore di zero. La somma è quindi sempre positiva.
[tex]$\arctan\left(\sqrt{x^2-1}\right)+\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$[/tex]
Ora direi che basta ragionare così: visto che la radice per definizione è sempre maggiore e uguale a zero, segue che i due addendi sono rispettivamente maggiore uguale maggiore di zero. La somma è quindi sempre positiva.
Sei sicuro sulla derivata?
$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ giusto?
Sul secondo così ad occhio manca sicuramente una x al numeratore.
La funzione è: $f(x)= x arctan(sqrt(x^2+1)$
$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ giusto?
Sul secondo così ad occhio manca sicuramente una x al numeratore.
La funzione è: $f(x)= x arctan(sqrt(x^2+1)$
Mi è venuta un'altra domanda inerente a questo problema.
E' necessario fare lo studio del dominio della derivata prima ai fini dello studio della crescenza e della descrescenza?
La risposta penso sia no. Ho vissuto tranquillamente senza mai pormi il problema.
La domanda reale è se serve a qualcosa e se sprecare tempo a riguardo mi porta qualche informazione utile
Gracias
Federico
E' necessario fare lo studio del dominio della derivata prima ai fini dello studio della crescenza e della descrescenza?
La risposta penso sia no. Ho vissuto tranquillamente senza mai pormi il problema.
La domanda reale è se serve a qualcosa e se sprecare tempo a riguardo mi porta qualche informazione utile
Gracias
Federico
Sì, la derivata che ho fatto io è giusta: prova a ricontrollarla.
Per quanto riguarda lo studio della derivata prima, non mi è chiaro cosa intendi con lo studiare il dominio. In genere, buona parte dei punti del dominio della funzione derivata sono ereditati dal dominio di quella di partenza. Al più puoi perdere dei punti (di non derivabilità) per cui non vedo l'utilità di calcolarne il dominio.
In ogni caso, il dominio della derivata ti permette di identificare i punti di non derivabilità.
EDIT: ma sotto la radice c'è un + o un -?
Per quanto riguarda lo studio della derivata prima, non mi è chiaro cosa intendi con lo studiare il dominio. In genere, buona parte dei punti del dominio della funzione derivata sono ereditati dal dominio di quella di partenza. Al più puoi perdere dei punti (di non derivabilità) per cui non vedo l'utilità di calcolarne il dominio.
In ogni caso, il dominio della derivata ti permette di identificare i punti di non derivabilità.
EDIT: ma sotto la radice c'è un + o un -?
-1! Ho sbagliato
Scusa, ma la la derivata dell'arcotangente non è
$1/(1+x^2)$
Se questo è vero la derivata dell'arcotangente in questione non è:
$1/(1+(sqrt(x^2-1))^2)$?
Scusa, ma la la derivata dell'arcotangente non è
$1/(1+x^2)$
Se questo è vero la derivata dell'arcotangente in questione non è:
$1/(1+(sqrt(x^2-1))^2)$?
Te la svolgo passo passo:
[tex]$f'(x)=1\cdot\arctan(\sqrt{x^2-1})+x\cdot\frac{1}{1+(\sqrt{x^2-1})^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}\cdot 2x=\arctan(\sqrt{x^2-1})+\frac{2x^2}{2(1+x^2-1)\sqrt{x^2-1}}=\arctan(\sqrt{x^2-1})+\frac{2x^2}{2x^2\sqrt{x^2-1}}$[/tex]
e semplificando
[tex]$f'(x)=\arctan(\sqrt{x^2-1})+\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$[/tex]
A questo punto poni $t=\sqrt{x^2-1}\geq 0$ sul dominio della funzione. La derivata assume la forma
[tex]$\arctan t+\frac{1}{t}$[/tex]
che, risultando la somma di due funzioni sempre positive (i casi $x=\pm 1$ vanno esclusi in quanto avrai delle cuspidi dovute alla funzione radice) risulta positiva. Quindi la derivata prima è sempre positiva e non si annulla mai per cui la funzione è sempre crescente (strettamente).
[tex]$f'(x)=1\cdot\arctan(\sqrt{x^2-1})+x\cdot\frac{1}{1+(\sqrt{x^2-1})^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}\cdot 2x=\arctan(\sqrt{x^2-1})+\frac{2x^2}{2(1+x^2-1)\sqrt{x^2-1}}=\arctan(\sqrt{x^2-1})+\frac{2x^2}{2x^2\sqrt{x^2-1}}$[/tex]
e semplificando
[tex]$f'(x)=\arctan(\sqrt{x^2-1})+\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$[/tex]
A questo punto poni $t=\sqrt{x^2-1}\geq 0$ sul dominio della funzione. La derivata assume la forma
[tex]$\arctan t+\frac{1}{t}$[/tex]
che, risultando la somma di due funzioni sempre positive (i casi $x=\pm 1$ vanno esclusi in quanto avrai delle cuspidi dovute alla funzione radice) risulta positiva. Quindi la derivata prima è sempre positiva e non si annulla mai per cui la funzione è sempre crescente (strettamente).
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