Problema con lo studio del segno :S
Ho questa funzione:
$f(x)=log((x^2-1)/(x^2+1))$
lo studio del segno è:
$(x^2-1)/(x^2+1)>0$
e
$ (x^2-1)/(x^2+1)>1$
la risoluzione mi dice che è positivo nel primo e secondo quadrante.
il suo dominio è:
$(-oo,-1)$ $U$ $(1;+oo)$
dunque, perchè invece nel programma per fare i grafici, viene che la funzione sta nel secondo e terzo quadrante?
Dove ho sbagliato?
(Ho fatto anche i limiti, derivata prima ma non capisco dove sia lo sbaglio nello studio del segno!)
Grazie.
$f(x)=log((x^2-1)/(x^2+1))$
lo studio del segno è:
$(x^2-1)/(x^2+1)>0$
e
$ (x^2-1)/(x^2+1)>1$
la risoluzione mi dice che è positivo nel primo e secondo quadrante.
il suo dominio è:
$(-oo,-1)$ $U$ $(1;+oo)$
dunque, perchè invece nel programma per fare i grafici, viene che la funzione sta nel secondo e terzo quadrante?
Dove ho sbagliato?
(Ho fatto anche i limiti, derivata prima ma non capisco dove sia lo sbaglio nello studio del segno!)
Grazie.
Risposte
perchè $(x^2-1)/(x^2+1)<=1 AA x in RR$ quindi è sempre non positiva la funzione...
il dominio del logaritmo qual'è?...
te hai $f(x)=log((x^2-1)/(x^2+1))$ e hai fatto qualche casino sul dominio e sul segno.
Ricordati in generale che se hai una funzione $f(x)=log(g(x))$ allora la condizione d'esistenza è $g(x)>0$, mentre il segno è dato da $log(g(x))>0$.
te hai $f(x)=log((x^2-1)/(x^2+1))$ e hai fatto qualche casino sul dominio e sul segno.
Ricordati in generale che se hai una funzione $f(x)=log(g(x))$ allora la condizione d'esistenza è $g(x)>0$, mentre il segno è dato da $log(g(x))>0$.
"nato_pigro":
perchè $(x^2-1)/(x^2+1)<=1 AA x in RR$ quindi è sempre non positiva la funzione...
Non riesco a capire questo passaggio, anche se è giusto.
non doveva essere $log(g(x))>0$ e dunque $log(g(x))>log1$ ovvero $g(x)>1$ ? :S
Per Fu:
Il dominio l'ho scritto, e credo vada bene, infatti ho posto come hai ben detto tu $g(x)>0$
Ora il mio dubbio è: quando faccio lo studio del segno per le funzioni logaritmo, devo includere di nuovo $g(x)>0$ ?
Vuoi vedere dove $f(x)$ è positiva, per cui devi cercare le $x$ tali che $log(g(x))>0 <=> g(x)>1$ e in questo caso $(x^2-1)/(x^2+1)>1$ però l'insime di queste $x$ è il vuoto siccome $(x^2-1)/(x^2+1)<=1 AA x in RR$
Aspetta.
Infatti viene:
$-2/(x^2+1)>0$
$-2>0$ mai verificata
$ (x^2+1) > 0$ sempre verificata
dunque è vuoto e si devono prendere le soluzioni di quella diseguaglianza che hai scritto tu
ecco perchè viene che nel primo e secondo quadrante è negativa, e positiva nel terzo e quarto.
Giusto?
d'altrone, me ne sarei dovuto accorgere dalla crescenza-decrescenza della funzione.
prima decresce, poi cresce.
Infatti viene:
$-2/(x^2+1)>0$
$-2>0$ mai verificata
$ (x^2+1) > 0$ sempre verificata
dunque è vuoto e si devono prendere le soluzioni di quella diseguaglianza che hai scritto tu
ecco perchè viene che nel primo e secondo quadrante è negativa, e positiva nel terzo e quarto.
Giusto?
d'altrone, me ne sarei dovuto accorgere dalla crescenza-decrescenza della funzione.
prima decresce, poi cresce.
nono. un attimo, che funzione stai studiando? $-2/(x^2+1)>0$ dove l'hai pescata?
Il tuo scopo è vedere dove la funzione $f$ è positiva (e di conseguenza dove è negativa). Ora, il logaritmo è positivo se l'argomento è $>1$, quindi dobbiamo vedere dove $(x^2-1)/(x^2+1)>1$, e con "dove" intendo le $x$ per cui vale la disuguaglianza. Ora, dove è verificata questa disuguaglianza?
Si vede subito che il numeratore è minore o uguale al denominatore per cui il rapporto è $<=1$, oppure un altro modo è moltiplicare per $x^2+1$ (che è strettamente positivo) e ti viene $-1>1$, quali sono le $x$ per cui vale ciò? nessuna. Stavamo studiando dove è positiva per cui sappiamo che la funzione è non positiva su tutto il dominio.
Il tuo scopo è vedere dove la funzione $f$ è positiva (e di conseguenza dove è negativa). Ora, il logaritmo è positivo se l'argomento è $>1$, quindi dobbiamo vedere dove $(x^2-1)/(x^2+1)>1$, e con "dove" intendo le $x$ per cui vale la disuguaglianza. Ora, dove è verificata questa disuguaglianza?
Si vede subito che il numeratore è minore o uguale al denominatore per cui il rapporto è $<=1$, oppure un altro modo è moltiplicare per $x^2+1$ (che è strettamente positivo) e ti viene $-1>1$, quali sono le $x$ per cui vale ciò? nessuna. Stavamo studiando dove è positiva per cui sappiamo che la funzione è non positiva su tutto il dominio.
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