Problema con l'integrale di una forma differenziale

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Non riesco a risolvere un'esercizio di analisi due.

Data la forma differenziale

$ omega:=(log(x+y)+x/(x+y))dx + x/(x+y)dy $

detto $ gamma $ l'arco di equazione implicita $ x^2+y^2=2 $ contenuto nel primo quadrante , orientato nel
verso delle $ y $ $ decrescenti $ si calcoli $ int_(gamma)^() omega $ ovvero l'integrale della forma differenziale $omega$ esteso alla curva $ gamma$ senza ricorrere al calcolo di una primitiva di $ omega$

Il fatto che l'orientamento sia nel verso delle y decrescenti mi consente di usare questa parametrizzazione per la curva

$ { ( x(t)= cost ),( y(t)=sint ):} $ con $ t in [0,pi/2] $

tuttavia debbo cambiare di segno l'integrale giusto??? Il verso di percorrenza dell'arco è orario ?

Solo che calcolando l'integrale con questa parametrizzazione viene molto complesso


$ - int_(0)^(pi/2) [ log (sqrt2cost + sqrt2sint) + (sqrt2cost)/(sqrt2cost + sqrt2sint)*(-sqrt2sint) $

$ + (sqrt2cost)/(sqrt2cost + sqrt2sint) *(sqrt2cost) ]dt $

Ora viene un integrale parecchio complicato che non riesco a svolgere
Invece ho notato che usando un'altra parametrizzazione l'integrale si semplifica di molto


$ { ( x(t) = t ),( y(t) = sqrt2 - t ):} $ con $ t in [0,sqrt2] $

infatti usando questa parametrizzazione l'integrale si riduce a

$ int_(0)^(sqrt2) log sqrt2 dt $

Ma la seconda parametrizzazione è corretta??? A me non sembra .. eppure il risultato è corretto!
Perchè? Grazie per l'aiuto

[Emar1]

Ho cancellato il mio precedente messaggio, non avevo visto che non si tratta di una circonferenza ma di un quarto di essa. La seconda parametrizzazione rappresenta la retta che congiunge gli stessi due punti del quarto di circonferenza.

Ottieni lo stesso risultato perché la forma è esatta in quella zona del piano e quindi il suo integrale è uguale su curve che congiungono gli stessi punti.

[marthy_92]

Conosco questa proprietà ma mi era sfuggita ! Grazie mille