Problema con limiti - esercizi
Salve, come da titolo ho un problema nel calcolo di alcuni limiti, principalmente trigonometrici e logaritmici. Dalla teoria sono riuscito a ricavare poco quindi chiedo aiuto qui.
I limiti coinvolti in questo caso sono:
$lim_(x->0)(e^(tan^3x) - 1)/(x(cosx-1))$
$lim_(x->0)log(1+sin^3x)/(sqrt(1+x^3)-1)$
Dovrei risolverli solo con trasformazioni o con i limiti notevoli o al massimo con la regola di de l'Hopital, purtroppo dopo 2 ore non ho concluso quasi nulla.
Il primo ho provato a risolverlo con de l'Hopital senza successo oppure provando a trasformare il denominatore in
$x^2(cos^2x-1)$ in modo da poterlo trasformare in seno ma niente.
Il secondo dopo aver razionalizzato il denominatore mi trovo con $x^3$ e dato che al numeratore è presente $sin^3x$ ho pensato al limite notevole $sinx/x$ però non so se posso tirarlo fuori dal logaritmo.
Qualche aiuto?
I limiti coinvolti in questo caso sono:
$lim_(x->0)(e^(tan^3x) - 1)/(x(cosx-1))$
$lim_(x->0)log(1+sin^3x)/(sqrt(1+x^3)-1)$
Dovrei risolverli solo con trasformazioni o con i limiti notevoli o al massimo con la regola di de l'Hopital, purtroppo dopo 2 ore non ho concluso quasi nulla.
Il primo ho provato a risolverlo con de l'Hopital senza successo oppure provando a trasformare il denominatore in
$x^2(cos^2x-1)$ in modo da poterlo trasformare in seno ma niente.
Il secondo dopo aver razionalizzato il denominatore mi trovo con $x^3$ e dato che al numeratore è presente $sin^3x$ ho pensato al limite notevole $sinx/x$ però non so se posso tirarlo fuori dal logaritmo.
Qualche aiuto?
Risposte
"vinxs89":
Salve, come da titolo ho un problema nel calcolo di alcuni limiti, principalmente trigonometrici e logaritmici. Dalla teoria sono riuscito a ricavare poco quindi chiedo aiuto qui.
I limiti coinvolti in questo caso sono:
$lim_(x->0)(e^(tan^3x) - 1)/(x(cosx-1))$
$lim_(x->0)log(1+sin^3x)/(sqrt(1+x^3)-1)$
Dovrei risolverli solo con trasformazioni o con i limiti notevoli o al massimo con la regola di de l'Hopital, purtroppo dopo 2 ore non ho concluso quasi nulla.
Acc... è roba da 2 minuti, dai. Se hai capito il gioco, è facile.
Il primo: moltoplichi sopra e sotto per.... (tan^3x)/(tan^3x) e per $x^2$
$lim_(x->0)(e^(tan^3x) - 1)/(tan^3x)(tanx)/(x) (tan^2x)/(x^2)(x^2)/(cosx-1)$
Adesso sono tutti limiti notevoli, 1 * 1 * 1 * 2 mi sembra
Il primo ho provato a risolverlo con de l'Hopital senza successo oppure provando a trasformare il denominatore in
$x^2(cos^2x-1)$ in modo da poterlo trasformare in seno ma niente.
Il secondo dopo aver razionalizzato il denominatore mi trovo con $x^3$ e dato che al numeratore è presente $sin^3x$ ho pensato al limite notevole $sinx/x$ però non so se posso tirarlo fuori dal logaritmo.
Qualche aiuto?
caspita è vero! 
Grazie mille, credo di aver capito il "trucco"!
Solo il 2 è sbagliato nel risultato che hai scritto tu perché esce -2 essendo invertiti i segni di coseno e 1.
Per il secondo ho trasformato la funzione così e credo sia giusto (ho evitato di scrivere il limite per non renderla troppo pesante):
$log(1+sin^3x)/(sqrt(1+x^3)-1) = log(1+sin^3x)/(sin^3x)*(sin^3x)/(sqrt(1+x^3)-1) = log(1+sin^3x)/(sin^3x) * (sin^3x)/(sqrt(1+x^3)-1) * (sqrt(1+x^3)+1)/(sqrt(1+x^3)+1) = $
$log(1+sin^3x)/(sin^3x)*((sin^3x)/x^3 + sqrt(1+x^3)*(sin^3x)/x^3) = 1 * (1 + 1*1) = 2$
Grazie mille, credo di aver capito il "trucco"!
Solo il 2 è sbagliato nel risultato che hai scritto tu perché esce -2 essendo invertiti i segni di coseno e 1.
Per il secondo ho trasformato la funzione così e credo sia giusto (ho evitato di scrivere il limite per non renderla troppo pesante):
$log(1+sin^3x)/(sqrt(1+x^3)-1) = log(1+sin^3x)/(sin^3x)*(sin^3x)/(sqrt(1+x^3)-1) = log(1+sin^3x)/(sin^3x) * (sin^3x)/(sqrt(1+x^3)-1) * (sqrt(1+x^3)+1)/(sqrt(1+x^3)+1) = $
$log(1+sin^3x)/(sin^3x)*((sin^3x)/x^3 + sqrt(1+x^3)*(sin^3x)/x^3) = 1 * (1 + 1*1) = 2$
Bene, bravo/a.
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