Problema con limiti e integrali :(
Salve a tutti, sono nuovo sul forum.
Fra non molto avrò l'esame di analisi 1 e ho ancora problemi nel fare integrali e limiti.
Ve ne posto 5 che proprio non c'è verso di risolvere :S
$ lim (x->inf) x^2 (e^(sin(1/x))-(x/(x-1))) $ (dovrebbe portare -1/2)
$ lim (x->0) (1-cos(1-cos x) )/(x^2 - sin(x sin x)) $ (non so il risultato...derive non me lo calcola :S)
$ lim (x->inf) x^2 (cos (1/x) - (x^2/(1+x^2))) $ (dovrebbe portare 1/2)
$ integrale (tra 0 ed e) 5x cos (log x) dx $
$ integrale (tra 0 e log 3) e^x (arctan e^(-x/2) dx $
Se riuscite a svolgermeli e soprattutto a spiegarmi il procedimento vi ringrazio infinitamente.
Il problema è che spesso i limiti e gli integrali mi sembrano ognuno a sè stante...non ci sono regole "generali" per risolverlo...sembra che ogni volta è diverso
E le possibili soluzioni non mi saltano subito all'occhio...AIUTO ho l'esame il 3 febbraio!
Fra non molto avrò l'esame di analisi 1 e ho ancora problemi nel fare integrali e limiti.
Ve ne posto 5 che proprio non c'è verso di risolvere :S
$ lim (x->inf) x^2 (e^(sin(1/x))-(x/(x-1))) $ (dovrebbe portare -1/2)
$ lim (x->0) (1-cos(1-cos x) )/(x^2 - sin(x sin x)) $ (non so il risultato...derive non me lo calcola :S)
$ lim (x->inf) x^2 (cos (1/x) - (x^2/(1+x^2))) $ (dovrebbe portare 1/2)
$ integrale (tra 0 ed e) 5x cos (log x) dx $
$ integrale (tra 0 e log 3) e^x (arctan e^(-x/2) dx $
Se riuscite a svolgermeli e soprattutto a spiegarmi il procedimento vi ringrazio infinitamente.
Il problema è che spesso i limiti e gli integrali mi sembrano ognuno a sè stante...non ci sono regole "generali" per risolverlo...sembra che ogni volta è diverso
E le possibili soluzioni non mi saltano subito all'occhio...AIUTO ho l'esame il 3 febbraio!
Risposte
scusate ragazzi ma nn sono pratico del linguaggio che usate...
nel primo e nel terzo limite volevo scrivere limite che tende a infinito.
E l'ultima (l'integrale) volevo scrivere integrale tra 0 e log 3 di e^x .....
Scusate
nel primo e nel terzo limite volevo scrivere limite che tende a infinito.
E l'ultima (l'integrale) volevo scrivere integrale tra 0 e log 3 di e^x .....
Scusate
nessuno?
1)Per la prima puoi anche scrivere il limite come:
$lim_(x->oo) (e^(sin(1/x))-(x/(x-1)) )/(1/x^2)$
Con un cambio di variabile $1/x = t$ ti porti ad avere:
$lim_(t->0) (e^(sint) - 1/(1-t))/t^2$ che è decisamente più gestibile in quanto a calcoli (vengono meno brutti, ma comunque non belli). A questo punto hai la forma indeterminata 0/0 che svolgi con de l'hopital. Lo applichi due volte e ti viene il risultato.
2)Per la seconda:
Innanzitutto ti semplifichi un po' il limite, considerando che $lim_(x->0) (1-cosx)/(x^2/2) = 1$ e $lim_(x->0) (xsinx)/x^2 = 1$. A questo punto puoi allora scriverti il limite come $lim_(x->0) (1-cos(x^2/2))/(x^2-sin(x^2))$ e con un cambio di variabile $x^2=t$ ti porti a $lim_(x->0) (1-cos(t/2))/(t-sint)$ che facendo de l'hopital due volte diventa $lim_(x->0) cos(t/2)/(4sint)$ che va ad infinito.
3) Per la terza, a me viene -1/2, ricontrollando non vedo errori nel ragionamento, quindi o hai sbagliato a vedere la soluzione o c'é un errore nei miei calcoli che spero qualcuno più esperto riesca ad individuare =).
Innanzitutto come per la (1) fai il cambio di variabile $x=1/t$ per semplificare le cose. Ottieni $lim_(t->0) (cost -1/(1+t^2))/t^2$. A questo punto ti sviluppi al secondo ordine il coseno con taylor: $cost = 1- t^2/2 + o(t^2)$ ottenendo $lim_(t->0) (1-t^2/2 +o(t^2) - 1/(1+t^2))/t^2$ in questo vedi che $o(t^2)$ è trascurabile mentre $1-1/(1+t^2)$ tende a zero. Quello che ti rimane è $lim_(t->0) -(t^2/2)/t^2 = -1/2$
4) L'integrale puoi farlo sostituendo $e^x = t$ e svolgendolo poi per parti considerando che $t = D(t^2/2)$
$lim_(x->oo) (e^(sin(1/x))-(x/(x-1)) )/(1/x^2)$
Con un cambio di variabile $1/x = t$ ti porti ad avere:
$lim_(t->0) (e^(sint) - 1/(1-t))/t^2$ che è decisamente più gestibile in quanto a calcoli (vengono meno brutti, ma comunque non belli). A questo punto hai la forma indeterminata 0/0 che svolgi con de l'hopital. Lo applichi due volte e ti viene il risultato.
2)Per la seconda:
Innanzitutto ti semplifichi un po' il limite, considerando che $lim_(x->0) (1-cosx)/(x^2/2) = 1$ e $lim_(x->0) (xsinx)/x^2 = 1$. A questo punto puoi allora scriverti il limite come $lim_(x->0) (1-cos(x^2/2))/(x^2-sin(x^2))$ e con un cambio di variabile $x^2=t$ ti porti a $lim_(x->0) (1-cos(t/2))/(t-sint)$ che facendo de l'hopital due volte diventa $lim_(x->0) cos(t/2)/(4sint)$ che va ad infinito.
3) Per la terza, a me viene -1/2, ricontrollando non vedo errori nel ragionamento, quindi o hai sbagliato a vedere la soluzione o c'é un errore nei miei calcoli che spero qualcuno più esperto riesca ad individuare =).
Innanzitutto come per la (1) fai il cambio di variabile $x=1/t$ per semplificare le cose. Ottieni $lim_(t->0) (cost -1/(1+t^2))/t^2$. A questo punto ti sviluppi al secondo ordine il coseno con taylor: $cost = 1- t^2/2 + o(t^2)$ ottenendo $lim_(t->0) (1-t^2/2 +o(t^2) - 1/(1+t^2))/t^2$ in questo vedi che $o(t^2)$ è trascurabile mentre $1-1/(1+t^2)$ tende a zero. Quello che ti rimane è $lim_(t->0) -(t^2/2)/t^2 = -1/2$
4) L'integrale puoi farlo sostituendo $e^x = t$ e svolgendolo poi per parti considerando che $t = D(t^2/2)$
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