Problema con limite fratto
Ciao a tutti, ho problemi a svolgere questo limite
$ lim_{x \to 1}\frac{ln(x)}{x^2-1} $
non capisco come risolverlo, e non posso usaro il confronto fra infinitesimi dato che numeratore e denominatore non vanno ad infinito
$ lim_{x \to 1}\frac{ln(x)}{x^2-1} $
non capisco come risolverlo, e non posso usaro il confronto fra infinitesimi dato che numeratore e denominatore non vanno ad infinito
Risposte
Se vuoi usare gli infinitisemi, le funzioni devono avere limite zero (e queste ce l'hanno). Poni $t=x-1$
Con la sostituzione $1+x=t$ ti riduci al calcolo del limite...
$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln (1+t)}{t\ (2+t)}$ (1)
... che puo' essere facilmente eseguito con la regola dell'Hopital o con lo sviluppo di Taylor...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln (1+t)}{t\ (2+t)}$ (1)
... che puo' essere facilmente eseguito con la regola dell'Hopital o con lo sviluppo di Taylor...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Hopital e Taylor ancora non siamo arrivati a farlo
Ma quindi usando gli infinitesimi devo fare:
$ t=x-1 hArr x=t+1 $
quindi
$ lim_{x \to 1}t=lim_{x\to1}x-1=0 $
Dunque
$ lim_{t\to0}\frac{ln(t+1)}{t(t+2)} $
ma poi?
$ t=x-1 hArr x=t+1 $
quindi
$ lim_{x \to 1}t=lim_{x\to1}x-1=0 $
Dunque
$ lim_{t\to0}\frac{ln(t+1)}{t(t+2)} $
ma poi?
Sorry, la sostituzione giusta è $x=1+t$... ho confuso le variabili scrivendo. A numeratore ottieni $\ln(1+t)\sim t$ (visto che $t\to 0$ e da lì...
non capisco come fa a dare $\frac{1}{2}$ come soluzione
Se $x=1+t$ il denominatore diventa $x^2-1=(x-1)(x+1)=t(t+2)$ e il limite è
$\lim_{t\to 0}\frac{t}{t(t+2)}=1/2$.
$\lim_{t\to 0}\frac{t}{t(t+2)}=1/2$.
ma scusa il limite non diventa $lim_{t\to0}\frac{ln(t+1)}{t(t+2)}$??
Il 'cuore del problema' e' trovare il limite...
$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln (1+t)}{t}$ (1)
... senza fare uso della regola dell'Hopital o dello sviluppo di Taylor. Molto bene!... siccome e'...
$\frac{\ln (1+t)}{t} = \ln \{(1+t)^{\frac{1}{t}}\}$ (2)
... con la sostituzione $t=\frac{1}{n}$ possiamo scrivere...
$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln (1+t)}{t}= \ln \{\lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^{n}\}$ (3)
... e questo e' del tutto elementare...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln (1+t)}{t}$ (1)
... senza fare uso della regola dell'Hopital o dello sviluppo di Taylor. Molto bene!... siccome e'...
$\frac{\ln (1+t)}{t} = \ln \{(1+t)^{\frac{1}{t}}\}$ (2)
... con la sostituzione $t=\frac{1}{n}$ possiamo scrivere...
$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln (1+t)}{t}= \ln \{\lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^{n}\}$ (3)
... e questo e' del tutto elementare...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
non capisco la relazione del tuo limite con il mio, il denominatore è diverso
Pensavo fosse ovvio che...
$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln (1+t)}{t\ (2+t)} = \frac{1}{2}\ \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln (1+t)}{t}$ (1)
... ma evidentementre pensavo male...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln (1+t)}{t\ (2+t)} = \frac{1}{2}\ \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln (1+t)}{t}$ (1)
... ma evidentementre pensavo male...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Bugger, studiati per bene cos'è un confronto locale e ricordati che vale il limite notevole seguente $\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1$.
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