Problema con limite dove sto sbagliando?
Nel mio libro ho trovato questo limite, che andava risolto con De L'Hospital e mi risulta 1/2 che è il risultato giusto, ma poi ho provato a farlo con i limiti notevoli e trovo -infinito dove sta l'errore? 
$ lim_(x -> 0) (e^x-1-x-x^2/2)/(sin(x)-x*cos(x)) = lim_(x -> 0) (e^x-1)/(sin(x)-x*cos(x))+(-x-x^2/2)/(sin(x)-x*cos(x)) = lim_(x -> 0) ((e^x-1)/(x))*(x)/(sin(x)-x*cos(x))+(-x-x^2/2)/(sin(x)-x*cos(x)) = lim_(x -> 0) (x-x-x^2/2)/(sin(x)-x*cos(x)) = $
$lim_(x -> 0) (-x^2/2)/(sin(x)-x*cos(x)) = lim_(x -> 0) ((-x^2/2)*2/x)/((sin(x)-x*cos(x))*2/x) = lim_(x -> 0) ((-x)/((2sin(x))/x-2cos(x)))= lim_(x -> 0) ((-x)/(2-2cos(x))) = lim_(x -> 0) (((-x)*x)/(2-2cos(x))*1/x)= lim_(x -> 0) (-(x^2)/(1-cos(x))*1/2x)= lim_(x -> 0) (-2*1/2x) = -oo $
$ lim_(x -> 0) (e^x-1-x-x^2/2)/(sin(x)-x*cos(x)) = lim_(x -> 0) (e^x-1)/(sin(x)-x*cos(x))+(-x-x^2/2)/(sin(x)-x*cos(x)) = lim_(x -> 0) ((e^x-1)/(x))*(x)/(sin(x)-x*cos(x))+(-x-x^2/2)/(sin(x)-x*cos(x)) = lim_(x -> 0) (x-x-x^2/2)/(sin(x)-x*cos(x)) = $
$lim_(x -> 0) (-x^2/2)/(sin(x)-x*cos(x)) = lim_(x -> 0) ((-x^2/2)*2/x)/((sin(x)-x*cos(x))*2/x) = lim_(x -> 0) ((-x)/((2sin(x))/x-2cos(x)))= lim_(x -> 0) ((-x)/(2-2cos(x))) = lim_(x -> 0) (((-x)*x)/(2-2cos(x))*1/x)= lim_(x -> 0) (-(x^2)/(1-cos(x))*1/2x)= lim_(x -> 0) (-2*1/2x) = -oo $
Risposte
"GiovanniP":
dove sta l'errore?
$lim_(x -> 0) ((e^x-1)/(x))*(x)/(sin(x)-x*cos(x))+(-x-x^2/2)/(sin(x)-x*cos(x)) = lim_(x -> 0) (x-x-x^2/2)/(sin(x)-x*cos(x)) = $
qui. quel passaggio non è giustificato, non puoi calcolare un limite e sostituirci il risultato mentre gli altri li lasci come sono.
infatti tu hai pensato che $lim_(x to 0) ((e^x-1)/x)*x/(sinx-xcos)=lim_(x to 0)x/(sinx-xcos)$
perchè $lim_(x to 0) (e^x-1)/x=1$ ma questa proprietà non esiste, poichè $lim_(x to 0)x/(sinx-xcos)=[0/0]$ ovvero è ancora una forma indeterminata.
Ok ti ringrazio, ma quindi ogni volta che sostituisco un risultato devo sempre controllare che il resto non sia una forma indeterminata, o mi sbaglio?
Perchè ho fatto un'altra prova con una altro semplice limite e ho lo stesso problema, con De L'Hospital risulta 1/2 ed è giusto, invece con i limiti notevoli 1, e questa volta quando sostituisco nel quarto passagio il valore $ lim_(x -> 0) (e^x - 1)/x = 1 $ il restante $ 1/x $ e $ (e^x)/x $ non sono una forma indeterminata:
$ lim_(x -> 0) -(e^x*(1-x)-1)/x^2 = lim_(x -> 0) -((e^x-x*e^x-1)/x^2) = lim_(x -> 0) -((e^x-1)/x^2-(x*e^x)/x^2) = lim_(x -> 0) e^x/x - ((e^x-1)/x)*1/x = lim_(x -> 0) (e^x - 1)/x = 1 $
Perchè ho fatto un'altra prova con una altro semplice limite e ho lo stesso problema, con De L'Hospital risulta 1/2 ed è giusto, invece con i limiti notevoli 1, e questa volta quando sostituisco nel quarto passagio il valore $ lim_(x -> 0) (e^x - 1)/x = 1 $ il restante $ 1/x $ e $ (e^x)/x $ non sono una forma indeterminata:
$ lim_(x -> 0) -(e^x*(1-x)-1)/x^2 = lim_(x -> 0) -((e^x-x*e^x-1)/x^2) = lim_(x -> 0) -((e^x-1)/x^2-(x*e^x)/x^2) = lim_(x -> 0) e^x/x - ((e^x-1)/x)*1/x = lim_(x -> 0) (e^x - 1)/x = 1 $
"GiovanniP":
$ lim_(x -> 0) e^x/x - ((e^x-1)/x)*1/x = lim_(x -> 0) (e^x - 1)/x$
stesso errore di prima. ma proprio identico.
se hai $ lim_(x -> 0)- ((e^x-1)/x)*1/x$ non puoi decidere che ti va di calcolare solo mezzo limite e l'altro mollarlo lì, perchè direi che se $x$ tende a $0$ allora $1/x$ tende a $1/0$, il che non va bene perchè il limite allora è più infinito!
il punto è che non puoi calcolare un limite a pezzi, se tu sostituisci a $(e^x-1)/x$ il valore 1, vul dire che hai già calcolato i limite, e allora anche gli altri pezzi di funzione sono già al limite.
cerco di usare un linguaggio intuitivo per farti capire, ma il motivo è proprio quello.
"blackbishop13":
[quote="GiovanniP"]dove sta l'errore?
$lim_(x -> 0) ((e^x-1)/(x))*(x)/(sin(x)-x*cos(x))+(-x-x^2/2)/(sin(x)-x*cos(x)) = lim_(x -> 0) (x-x-x^2/2)/(sin(x)-x*cos(x)) = $
qui. quel passaggio non è giustificato, non puoi calcolare un limite e sostituirci il risultato mentre gli altri li lasci come sono.
infatti tu hai pensato che $lim_(x to 0) ((e^x-1)/x)*x/(sinx-xcos)=lim_(x to 0)x/(sinx-xcos)$
perchè $lim_(x to 0) (e^x-1)/x=1$ ma questa proprietà non esiste, poichè $lim_(x to 0)x/(sinx-xcos)=[0/0]$ ovvero è ancora una forma indeterminata.[/quote]
Ciò che tu scrivi non è del tutto vero.
$lim_(x to 0) ((e^x-1)/x) * x/(sinx-xcosx) = lim_(x to 0)x/(sinx-xcosx)$
A me risulta che questa proprietà esista. E' il teorema del limite di un prodotto.
Aggiungo che il teorema è valido perché il prodotto non si presenta in forma indeterminata (anche se il secondo fattore, portato al limite, si presenta come $[0/0]$ ).
Ciò che tu scrivi non è del tutto vero.
$lim_(x to 0) ((e^x-1)/x) * x/(sinx-xcosx) = lim_(x to 0)x/(sinx-xcosx)$
A me risulta che questa proprietà esista. E' il teorema del limite di un prodotto.
Sono leggeremnte confuso
Ma quindi se questo è giusto: $lim_(x to 0) ((e^x-1)/x) * x/(sinx-xcosx) = lim_(x to 0)x/(sinx-xcosx)$ dove avrei commesso l'errore?
La questione è delicata.
Il passaggio:
$lim_(x -> 0) (e^x - 1)/( sin(x) - x cos(x) ) = lim_(x -> 0) x/( sin(x) - x cos(x) ) $
è apparentemente giustificato dal fatto che $e^x - 1 sim x$ per $ x -> 0 $. Il principio di sostituzione degli infinitesimi te lo concede, se supponiamo che òa seconda frazione non ci sia. Portando a denominator comune, hai $lim_(x -> 0) (x - x - x^2/2)/( sin(x) - x cos(x) )$. Tuttavia ti renderai conto che c'è un enorme differenza tra scrivere:
$lim_(x -> 0) (e^x - 1 - x - x^2/2)/( sin(x) - x cos(x) )$ (che è il limite da cui si è partiti)
e scrivere $lim_(x -> 0) (x - x - x^2/2)/( sin(x) - x cos(x) )$ (che è il limite a cui si è arrivati)
Questo perché il principio di sostituzione degli infinitesimi non è più valido (hai una somma, non hai solo $e^x - 1$).
Il numeratore $e^x - 1 - x - x^2/2$, che è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x^2$ (basta lavorare con gli sviluppi di McLaurin per rendersene conto) , l'hai fatto diventare un infinitesimo che va a zero come $x^2$.
Volendo fare le cose in maniera un po' più rigorosa (?) avresti potuto scrivere:
$e^x - 1 = x + o(x)$
Quindi, analogamente a quanto fatto da te, avresti trovato:
$lim_(x -> 0) (x + o(x) - x - x^2/2)/( sin(x) - x cos(x) ) = lim_(x -> 0) (o(x))/( sin(x) - x cos(x) )$
Infatti $x^2/2$ è già compreso nella scrittura $o(x)$. E l'unica conclusione che puoi trarre da questo procedimento, è che il numeratore è un infinitesimo di ord superiore rispetto a $x$.
C'è una ragione perché ti hanno suggerito di risolverlo con De L'Hospital.
Il passaggio:
$lim_(x -> 0) (e^x - 1)/( sin(x) - x cos(x) ) = lim_(x -> 0) x/( sin(x) - x cos(x) ) $
è apparentemente giustificato dal fatto che $e^x - 1 sim x$ per $ x -> 0 $. Il principio di sostituzione degli infinitesimi te lo concede, se supponiamo che òa seconda frazione non ci sia. Portando a denominator comune, hai $lim_(x -> 0) (x - x - x^2/2)/( sin(x) - x cos(x) )$. Tuttavia ti renderai conto che c'è un enorme differenza tra scrivere:
$lim_(x -> 0) (e^x - 1 - x - x^2/2)/( sin(x) - x cos(x) )$ (che è il limite da cui si è partiti)
e scrivere $lim_(x -> 0) (x - x - x^2/2)/( sin(x) - x cos(x) )$ (che è il limite a cui si è arrivati)
Questo perché il principio di sostituzione degli infinitesimi non è più valido (hai una somma, non hai solo $e^x - 1$).
Il numeratore $e^x - 1 - x - x^2/2$, che è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x^2$ (basta lavorare con gli sviluppi di McLaurin per rendersene conto) , l'hai fatto diventare un infinitesimo che va a zero come $x^2$.
Volendo fare le cose in maniera un po' più rigorosa (?) avresti potuto scrivere:
$e^x - 1 = x + o(x)$
Quindi, analogamente a quanto fatto da te, avresti trovato:
$lim_(x -> 0) (x + o(x) - x - x^2/2)/( sin(x) - x cos(x) ) = lim_(x -> 0) (o(x))/( sin(x) - x cos(x) )$
Infatti $x^2/2$ è già compreso nella scrittura $o(x)$. E l'unica conclusione che puoi trarre da questo procedimento, è che il numeratore è un infinitesimo di ord superiore rispetto a $x$.
C'è una ragione perché ti hanno suggerito di risolverlo con De L'Hospital.
@Seneca.
Dunque un esercizio del genere, è risolvibile solo mediante de hopital, e dunque mai lo potrei vedere come possibile esercizio che va risolto con gli sviluppi o con i limiti notevoli?
Perchè con Hopital a me viene $-1/2$. Quindi pare che il modo più veloce sia questo, giusto?
Dunque un esercizio del genere, è risolvibile solo mediante de hopital, e dunque mai lo potrei vedere come possibile esercizio che va risolto con gli sviluppi o con i limiti notevoli?
Perchè con Hopital a me viene $-1/2$. Quindi pare che il modo più veloce sia questo, giusto?
A dire il vero credo sia impossibile da risolvere con i limiti notevoli.
Gli sviluppi in serie troncati si possono utilizzare e forse sono ancora più consigliabili rispetto a De L'Hospital. Infatti il numeratore è evidentemente:
$e^x - 1 - x - x^2/2 sim x^3/(3!)$
Gli sviluppi in serie troncati si possono utilizzare e forse sono ancora più consigliabili rispetto a De L'Hospital. Infatti il numeratore è evidentemente:
$e^x - 1 - x - x^2/2 sim x^3/(3!)$
Si Seneca, sembra più veloce come risoluzione con gli sviluppi, due passaggi
al denominatore io ho risolto con:
$sin(x)=x-(x^3)/6$
$cos(x)=1-(x^2)/2$
al denominatore io ho risolto con:
$sin(x)=x-(x^3)/6$
$cos(x)=1-(x^2)/2$
Ricordati che se metti l'uguale non basta il polinomio (ci vuole anche il resto).
$\sim (1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3)-1-x-x^2/2)/(x-x^3/6+o(x^3)-x+x^3/2+o(x^3))\to 1/2$
"clever":
@Seneca.
Dunque un esercizio del genere, è risolvibile solo mediante de hopital, e dunque mai lo potrei vedere come possibile esercizio che va risolto con gli sviluppi o con i limiti notevoli?
Perchè con Hopital a me viene . Quindi pare che il modo più veloce sia questo, giusto?
"Seneca":
A dire il vero credo sia impossibile da risolvere con i limiti notevoli.
Gli sviluppi in serie troncati si possono utilizzare e forse sono ancora più consigliabili rispetto a De L'Hospital. Infatti il numeratore è evidentemente:
$e^x - 1 - x - x^2/2 sim x^3/(3!)$
In un compito d'esame quindi, si può capire che un limite non può essere risolto con i limiti notevoli solo quando a volerli applicare forzatamente si commettono degli errori...(o sbaglio?) esiste un modo migliore per capire quando conviene utilizzare De L'Hospital o i limiti notevoli?
Possono esserci dei casi particolari o controindicazioni in cui è possibile applicare De L'Hospital ma non è conveniente?
"GiovanniP":
In un compito d'esame quindi, si può capire che un limite non può essere risolto con i limiti notevoli solo quando a volerli applicare forzatamente si commettono degli errori...(o sbaglio?)
Non dovresti commettere errori. Basta accorgersi che volendo applicare i limiti notevoli non si va da nessuna parte.
"GiovanniP":
esiste un modo migliore per capire quando conviene utilizzare De L'Hospital o i limiti notevoli?
Possono esserci dei casi particolari o controindicazioni in cui è possibile applicare De L'Hospital ma non è conveniente?
Esistono tanti esempi di limiti in cui gli sviluppi di Taylor sono molto più "rapidi" rispetto a L'Hospital; soprattutto se hai funzioni le cui derivate sono difficilmente trattabili. I teoremi di De L'Hospital non si dovrebbero usare troppo sportivamente. Anzitutto bisognerebbe scoprire se sono soddisfatte le ipotesi del teorema (verifica che la maggior parte delle volte non viene fatta). Detto questo, non conosco nessuna regola che discrimini l'utilizzo di un metodo o dell'altro.
@GIBI: Complimenti. Veramente in gamba a fare l'esercizio al posto dello studente (ed è la seconda volta che succede).
"Seneca":
Ricordati che se metti l'uguale non basta il polinomio (ci vuole anche il resto).
si, ricordo
, era solo per dare l'idea di come avevo 'sostituito'ovviamente devo mettere $o(x)$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo