Problema con limite
ciao raga... devo risolvere sto limite...
$\lim_{x \to \0+}x^a$
ho pensato di fare così:
secondo me questo è un limite in cui elevo un numero un poco più grande di zero ad un numero " a " che può essere:
1) zero
2) minore di zero
3) maggiore di zero
Nel primo caso mi risulta uno.
Sto procedendo nel modo corretto? Se si,nel caso due e nel caso tre cosa risulta?
$\lim_{x \to \0+}x^a$
ho pensato di fare così:
secondo me questo è un limite in cui elevo un numero un poco più grande di zero ad un numero " a " che può essere:
1) zero
2) minore di zero
3) maggiore di zero
Nel primo caso mi risulta uno.
Sto procedendo nel modo corretto? Se si,nel caso due e nel caso tre cosa risulta?
Risposte
Nel primo caso, ossia $a=0$, la funzione $x^0$ è identicamente $=1$ per $x!=0$, quindi...
Per gli altri valori di $a$, fai un po' di prove. Metti $a=1$ oppure $a=1/2$ oppure $a=2$ oppure $a=-1$ oppure... E poi traine le dovute conseguenze.
Per verificare, prendi un libro decente di Analisi e studiati la teoria per vedere se i tuoi risultati sono quelli giusti.
Per gli altri valori di $a$, fai un po' di prove. Metti $a=1$ oppure $a=1/2$ oppure $a=2$ oppure $a=-1$ oppure... E poi traine le dovute conseguenze.
Per verificare, prendi un libro decente di Analisi e studiati la teoria per vedere se i tuoi risultati sono quelli giusti.
Conviene porre quel limite nella seguente forma:
$lim_(x->0^+)x^a=lim_(x->0^+)e^(ln(x^a))=lim_(x->0^+)e^(a*ln(x))$
Per $x->0$ => $ln(x)->-\infty$. Dunque se $a>0$ il limite tende a 0. Se $a<0$, invece, tende a $\infty$.
L'unica forma indeterminata si ha per a=0.
Ciao
$lim_(x->0^+)x^a=lim_(x->0^+)e^(ln(x^a))=lim_(x->0^+)e^(a*ln(x))$
Per $x->0$ => $ln(x)->-\infty$. Dunque se $a>0$ il limite tende a 0. Se $a<0$, invece, tende a $\infty$.
L'unica forma indeterminata si ha per a=0.
Ciao
"K.Lomax":
L'unica forma indeterminata si ha per $a=0$.
Nessuna forma indeterminata per $a=0$.
Guarda bene.
La forma è indeterminata, infatti se $a=0$ si ha
$lim_(x->0^+)e^(a*ln(x))=e^(-0*\infty)$
Che poi possa essere risolto utilizzando i limiti notevoli e ciò porta a qualcosa di finito, questo è un altro discorso.
Ciao
$lim_(x->0^+)e^(a*ln(x))=e^(-0*\infty)$
Che poi possa essere risolto utilizzando i limiti notevoli e ciò porta a qualcosa di finito, questo è un altro discorso.
Ciao
Non è forma indeterminata.
Infatti $x^0$ è definita in $RR\setminus \{ 0\}$ dall'assegnazione $x^0=1$ (ricordi la definizione di potenza ad esponente intero? Non c'è bisogno di ricorrere alla rappresentazione esponenziale per definire $x^0$...); insomma $x^0$ è la funzione che vale identicamente $1$ in $RR\setminus \{ 0\}$.
Ora, se una funzione $f$ è costantemente uguale a $c$ in un intorno di un punto di accumulazione $x_0$ per il suo dominio, allora risulta banalmente $lim_(x\to x_0) f(x)=c$ (controlla con la definizione di limite, please); nel nostro caso $lim_(x\to 0) x^0=1$.
Quindi non c'è nessuna forma di indecisione nell'assegnare un valore a quel limite.
Altro esempio: la funzione $f(x)=0/x$ è identicamente nulla in $RR\setminus \{0\}$, quindi il $lim_(x\to 0) 0/x$ è uguale a $0$ e non si presenta in forma indeterminata.
Infatti $x^0$ è definita in $RR\setminus \{ 0\}$ dall'assegnazione $x^0=1$ (ricordi la definizione di potenza ad esponente intero? Non c'è bisogno di ricorrere alla rappresentazione esponenziale per definire $x^0$...); insomma $x^0$ è la funzione che vale identicamente $1$ in $RR\setminus \{ 0\}$.
Ora, se una funzione $f$ è costantemente uguale a $c$ in un intorno di un punto di accumulazione $x_0$ per il suo dominio, allora risulta banalmente $lim_(x\to x_0) f(x)=c$ (controlla con la definizione di limite, please); nel nostro caso $lim_(x\to 0) x^0=1$.
Quindi non c'è nessuna forma di indecisione nell'assegnare un valore a quel limite.
Altro esempio: la funzione $f(x)=0/x$ è identicamente nulla in $RR\setminus \{0\}$, quindi il $lim_(x\to 0) 0/x$ è uguale a $0$ e non si presenta in forma indeterminata.
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