Problema con liminf e limsup
Ciao a tutti.
Durante una dimostrazione (quella del teorema di Cesàro) mi sono imbattuto in questa affermazione:
"Proviamo che liminf \( (a_n/b_n)\geq \ell \) . Da questa affermazione applicata alla coppia di successioni \( -a_n\) e \( b_n\) , si trae liminf \( (-a_n/b_n)\geq - \ell \) e quindi limsup \( (a_n/b_n)\leq \ell \) ".
Non mi è chiaro come da liminf \( (a_n/b_n)\geq \ell \) si ricavino le altre due affermazioni; qualcuno potrebbe spiegarmelo?
Grazie.
Durante una dimostrazione (quella del teorema di Cesàro) mi sono imbattuto in questa affermazione:
"Proviamo che liminf \( (a_n/b_n)\geq \ell \) . Da questa affermazione applicata alla coppia di successioni \( -a_n\) e \( b_n\) , si trae liminf \( (-a_n/b_n)\geq - \ell \) e quindi limsup \( (a_n/b_n)\leq \ell \) ".
Non mi è chiaro come da liminf \( (a_n/b_n)\geq \ell \) si ricavino le altre due affermazioni; qualcuno potrebbe spiegarmelo?
Grazie.
Risposte
La faccenda mi suona un po' vaga. Potresti riportare l'enunciato del teorema e le eventuali assunzioni fatte su \(a_n\) e \(b_n\)...?
Beh, questo è un modo di ragionare standard.
Supponi di aver già provato che:
\[
\liminf \frac{a_n}{b_n}\geq l
\]
e di voler provare che:
\[
\limsup \frac{a_n}{b_n}\leq l\; .
\]
Consideri la successione ausiliaria di termine generale \(-\frac{a_n}{b_n}\); per noti fatti sul massimo e minimo limite hai:
\[
\liminf \left( -\frac{a_n}{b_n}\right) = - \limsup \frac{a_n}{b_n}
\]
quindi mostrare che \(\limsup \frac{a_n}{b_n}\leq l\) equivale a mostrare che \(\liminf \left( -\frac{a_n}{b_n}\right) \geq -l\); di solito questa ultima cosa si fa sfruttando la disuguaglianza sul minimolimite già acquisita.
Supponi di aver già provato che:
\[
\liminf \frac{a_n}{b_n}\geq l
\]
e di voler provare che:
\[
\limsup \frac{a_n}{b_n}\leq l\; .
\]
Consideri la successione ausiliaria di termine generale \(-\frac{a_n}{b_n}\); per noti fatti sul massimo e minimo limite hai:
\[
\liminf \left( -\frac{a_n}{b_n}\right) = - \limsup \frac{a_n}{b_n}
\]
quindi mostrare che \(\limsup \frac{a_n}{b_n}\leq l\) equivale a mostrare che \(\liminf \left( -\frac{a_n}{b_n}\right) \geq -l\); di solito questa ultima cosa si fa sfruttando la disuguaglianza sul minimolimite già acquisita.
Risolto, grazie.