Problema con lim inf e lim sup
Ciao.
Scusatemi, ho parecchie difficoltà a capire i concetti di lim inf e lim sup di una successione reale.
Vi scrivo come li abbiamo definiti a lezione e cerco di spiegare cosa non capisco.
Sia ${a_n}$ una successione reale e supponiamo che sia limitata superiormente $AAn$ e poniamo
$c_n$ = sup $a_k$ con $k>=n$
Osserviamo che $AAn$ $a_n <=c_n$ . Questo deriva dalla definzione di sup, giusto?
E inoltre $c_n$ è monotona decrescente, cioè $c_n >= c_(n+1) AAn$
Ecco, io qui non capisco...perchè è monotona decrescente?
Cioè, se io prendo via via $a_n$ al crescere di n, il sup non dovrebbe crescere di conseguenza? E quindi non dovrebbe essere $c_n$ crescente?
Analogo problema ho con il lim sup.
Mi potete aiutare?
Vi ringrazio in anticipo.
_L_
Scusatemi, ho parecchie difficoltà a capire i concetti di lim inf e lim sup di una successione reale.
Vi scrivo come li abbiamo definiti a lezione e cerco di spiegare cosa non capisco.
Sia ${a_n}$ una successione reale e supponiamo che sia limitata superiormente $AAn$ e poniamo
$c_n$ = sup $a_k$ con $k>=n$
Osserviamo che $AAn$ $a_n <=c_n$ . Questo deriva dalla definzione di sup, giusto?
E inoltre $c_n$ è monotona decrescente, cioè $c_n >= c_(n+1) AAn$
Ecco, io qui non capisco...perchè è monotona decrescente?
Cioè, se io prendo via via $a_n$ al crescere di n, il sup non dovrebbe crescere di conseguenza? E quindi non dovrebbe essere $c_n$ crescente?
Analogo problema ho con il lim sup.
Mi potete aiutare?
Vi ringrazio in anticipo.
_L_
Risposte
Ti dico la definizione che so io così ci capiamo meglio.
Il lim sup (lim inf) è il più grande (piccolo) elemento di R (può essere infinito) tale che esiste una sottosuccessione che converge a quel numero.
La successione da te considerata è monotona decrescente anche se non strettamente (potrebbe anche essere costante) e converge al lim sup...
Per vederla pensa al fatto che il lim sup di una successione monotona decrescente e convergente è inferiore a qualunque elemento della successione (e coincide con il lim inf). Quindi se è superiore a ogni elemento della successione la successione definita sopra è costante altrimenti decresce.
Inoltre il superiore da n in poi è inferiore al superiore di n-m in poi perché trascura m elementi potenzialmente maggiori.
EDIT: una successione per rendere le idee... [tex]\displaystyle a_{2n} = \frac{n+2}{n+1},\ a_{2n+1}=-\frac{n+2}{n+1}[/tex] ha come lim sup 1 e com lim inf -1
Il lim sup (lim inf) è il più grande (piccolo) elemento di R (può essere infinito) tale che esiste una sottosuccessione che converge a quel numero.
La successione da te considerata è monotona decrescente anche se non strettamente (potrebbe anche essere costante) e converge al lim sup...
Per vederla pensa al fatto che il lim sup di una successione monotona decrescente e convergente è inferiore a qualunque elemento della successione (e coincide con il lim inf). Quindi se è superiore a ogni elemento della successione la successione definita sopra è costante altrimenti decresce.
Inoltre il superiore da n in poi è inferiore al superiore di n-m in poi perché trascura m elementi potenzialmente maggiori.
EDIT: una successione per rendere le idee... [tex]\displaystyle a_{2n} = \frac{n+2}{n+1},\ a_{2n+1}=-\frac{n+2}{n+1}[/tex] ha come lim sup 1 e com lim inf -1
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