Problema con le varietà
Ciao! I problemi con analisi su varietà si stanno accumulando... Ecco l'ultimo:
Se ho $F:R^n\rightarrow R^n$ carta (diffeomorfismo) che spiana la k-varietà M nel sottospazio di assi $y_1,...,y_k$,
posso affermare che le derivate parziali dell'inversa di F $D_{y_1}F^(-1),...,D_{y_k}F^(-1)$ sono linearmente indipendenti?
Se ho $F:R^n\rightarrow R^n$ carta (diffeomorfismo) che spiana la k-varietà M nel sottospazio di assi $y_1,...,y_k$,
posso affermare che le derivate parziali dell'inversa di F $D_{y_1}F^(-1),...,D_{y_k}F^(-1)$ sono linearmente indipendenti?
Risposte
La butto lì, dato che non è il mio forte...
Non è che puoi lavorare sul fatto che $F^(-1)$ è (forse, non sono sicurissimo) una carta locale di $M$?
Non è che puoi lavorare sul fatto che $F^(-1)$ è (forse, non sono sicurissimo) una carta locale di $M$?
Io intendevo F come carta (locale) di M, $F^(-1)$ sarebbe quindi una parametrizzazione di M.
Sì, vabbè l'idea è quella... 
Te l'avevo detto che non sono ferrato in materia; i termini tecnici mi sfuggono.
Te l'avevo detto che non sono ferrato in materia; i termini tecnici mi sfuggono.
Se ho $M$ una varietà $k$-dimensionale immersa in $\mathbb{R}^n$
e ho un atlante $A$ di $M$.
Posso prendere $\forall p\inM$ una carta locale $x\inA$ tc $x: V->U$ dove $V=B(p,r)\capM$ e $U$ è un aperto di $\mathbb{R}^k$. (dove queste carte sono definite con la proprietà di essere diffeomorfismi, che il cambio di carte sia un diffeomorfismo e che l'insieme sia massimale, e forse qualche altra proprietà...)
Credo che dovrebbe essere così se non ricordo male.
A questo punto tu ti chiedi:
le derivate delle inverse delle carte (anche dette parametrizzazioni), sono linearmente indipendenti?
Ovviamente sì! Per una delle proprietà di definizione di $A$ Atlante vuoi che il cambio di coordinate sia un diffeomorfismo, quindi localmente la linearizzazione dell'inversa di una carta non deve degenerare.
Il senso intuitivo (che posso darti a dispetto del rigore matematico che non ricordo più, ma che comunque trovi ad esempio in maniera molto chiara su Singer, Thorpe "Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry")
è che la tua parametrizzazione deve ricoprire tutto il manifold, perciò essendo il manifold $k$ dimensionale e avendo tu $k$ direzioni indipendenti in $U$ devi dire che per essere una parametrizzazione deve avere tutte le derivate lin indip per poter mettere in corrispondenza l'intorno di un punto in $U$ con l'intorno dell'immagine del punto in $M$.
e ho un atlante $A$ di $M$.
Posso prendere $\forall p\inM$ una carta locale $x\inA$ tc $x: V->U$ dove $V=B(p,r)\capM$ e $U$ è un aperto di $\mathbb{R}^k$. (dove queste carte sono definite con la proprietà di essere diffeomorfismi, che il cambio di carte sia un diffeomorfismo e che l'insieme sia massimale, e forse qualche altra proprietà...)
Credo che dovrebbe essere così se non ricordo male.
A questo punto tu ti chiedi:
le derivate delle inverse delle carte (anche dette parametrizzazioni), sono linearmente indipendenti?
Ovviamente sì! Per una delle proprietà di definizione di $A$ Atlante vuoi che il cambio di coordinate sia un diffeomorfismo, quindi localmente la linearizzazione dell'inversa di una carta non deve degenerare.
Il senso intuitivo (che posso darti a dispetto del rigore matematico che non ricordo più, ma che comunque trovi ad esempio in maniera molto chiara su Singer, Thorpe "Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry")
è che la tua parametrizzazione deve ricoprire tutto il manifold, perciò essendo il manifold $k$ dimensionale e avendo tu $k$ direzioni indipendenti in $U$ devi dire che per essere una parametrizzazione deve avere tutte le derivate lin indip per poter mettere in corrispondenza l'intorno di un punto in $U$ con l'intorno dell'immagine del punto in $M$.
Ok ti ringrazio! Il senso intuitivo (che prima non avevo capito) ora mi è chiaro e anche per quanto riguarda la dim credo di avere risolto
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