Problema con le serie
Salve a tutti ragazzi, ho un problema nel risolvere questa serie numerica:
$ sum_(n = 1)^(oo) ([2^x-4]^n)/(2^n+log(n^2-1)) $ $x in R$
L'unica cosa che sono riuscito a dire (e non sono nemmeno certo al 100% di ciò), è che per qualsiasi valore di x, la serie è a segno alterno.
Dopo ciò non so come continuare a studiare il carattere della serie. Potete aiutarmi? Grazie mille
$ sum_(n = 1)^(oo) ([2^x-4]^n)/(2^n+log(n^2-1)) $ $x in R$
L'unica cosa che sono riuscito a dire (e non sono nemmeno certo al 100% di ciò), è che per qualsiasi valore di x, la serie è a segno alterno.
Dopo ciò non so come continuare a studiare il carattere della serie. Potete aiutarmi? Grazie mille
Risposte
Questa serie va studiata per casi, finché non finiscono le $x$ possibili per cui studiarla
Iniziamo a trovarne alcune.
Beh la prima cosa da fare in questi casi è studiare il limite della successione, e vedere quando essa è infinitesima, per tutti i valori di $x$ per cui essa non sarà infinitesima allora per il teorema di Cauchy avremo la garanzia che non può convergere.
Tralasciando i conti che non vorrei spoilerarti ottiene che il limite è infinitesimo solo per $1
A questo punto non ci resta che vedere se per i valori di $x$ per cui la successione è infinitesima si ha che la serie converge oppure no, o se lo fa solo per un sottinsieme di tali valori.
Io comincerei quindi col maggiorare la nostra serie nel seguente modo
$$
\frac{(2^x-4)^n}{2^n+log(n^2-1)}<\frac{(2^x-4)^n}{2^n}=\begin{pmatrix}\frac{2^x-4}{2}\end{pmatrix}^n
$$
Quindi abbiamo maggiorato con una serie geometrica, la quale converge se la ragione in modulo è minore di $1$
quindi se $1
Quindi abbiamo scoperto che la serie è irregolare per $x\leq 1$ che è convergente per $1
Spero di esserti stato d'aiuto.
Se hai problemi con i passaggi intermedi che ho saltato non esitare a chiedere.
Buonaserata.
Iniziamo a trovarne alcune.
Beh la prima cosa da fare in questi casi è studiare il limite della successione, e vedere quando essa è infinitesima, per tutti i valori di $x$ per cui essa non sarà infinitesima allora per il teorema di Cauchy avremo la garanzia che non può convergere.
Tralasciando i conti che non vorrei spoilerarti ottiene che il limite è infinitesimo solo per $1
A questo punto non ci resta che vedere se per i valori di $x$ per cui la successione è infinitesima si ha che la serie converge oppure no, o se lo fa solo per un sottinsieme di tali valori.
Io comincerei quindi col maggiorare la nostra serie nel seguente modo
$$
\frac{(2^x-4)^n}{2^n+log(n^2-1)}<\frac{(2^x-4)^n}{2^n}=\begin{pmatrix}\frac{2^x-4}{2}\end{pmatrix}^n
$$
Quindi abbiamo maggiorato con una serie geometrica, la quale converge se la ragione in modulo è minore di $1$
quindi se $1
Quindi abbiamo scoperto che la serie è irregolare per $x\leq 1$ che è convergente per $1
Spero di esserti stato d'aiuto.
Se hai problemi con i passaggi intermedi che ho saltato non esitare a chiedere.
Buonaserata.
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