Problema con le derivate nella variazione dell'azione
Buongiorno =) ho un problema con l'operatore di derivata nel momento in cui cerco di applicare il principio di hamilton. Il caso che sto considerando è quello di un sistema con infiniti gradi di libertà, cioè la corda vibrante, da trattare con il formalismo lagrangiano.
Ho la seguente Lagrangiana che descrive il moto
$$\mathcal{L}[y]=\frac{1}{2}\int_{t_0}^{t} \left[\mu (\frac{\partial y}{\partial t})^2- \tau (\frac{\partial y}{\partial x})^2\right] \, dx$$
cioè energia cinetica meno energia potenziale.
Per ricavare le leggi del moto della corda ci si avvale del principio di Hamilton
$$\delta \int_{t_0}^{t} \mathcal{L} \, dt=0$$
Ora, perchè la variazione dell'azione è la seguente:
$$\delta A=\int_{t_0}^{t} \int_{0}^{l} \left[\mu \frac{\partial y}{\partial t}\frac{\partial (\delta y)}{\partial t}- \tau \frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial (\delta x)}{\partial x}\right] \, dx \, dt$$
??
Ho la seguente Lagrangiana che descrive il moto
$$\mathcal{L}[y]=\frac{1}{2}\int_{t_0}^{t} \left[\mu (\frac{\partial y}{\partial t})^2- \tau (\frac{\partial y}{\partial x})^2\right] \, dx$$
cioè energia cinetica meno energia potenziale.
Per ricavare le leggi del moto della corda ci si avvale del principio di Hamilton
$$\delta \int_{t_0}^{t} \mathcal{L} \, dt=0$$
Ora, perchè la variazione dell'azione è la seguente:
$$\delta A=\int_{t_0}^{t} \int_{0}^{l} \left[\mu \frac{\partial y}{\partial t}\frac{\partial (\delta y)}{\partial t}- \tau \frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial (\delta x)}{\partial x}\right] \, dx \, dt$$
??
Risposte
Scusa la mia non è una risposta ma un consiglio! conviene che poni la tua domanda nella sezione di fisica, è più appropriato!
L'ho postata in questa sezione in quanto riguarda unicamente le prioprietà della derivata. Cioè non so come arrivare ad ottenere algebricamente quella formula
Forse manca un'integrale spaziale anche nella definizione di $\mathcal L$... Detto questo si ha
$
\mathcal L(y+\lambda\phi)=\int_{t_0}^t\int_0^l(\mu(\frac{\partial y}{\partial t}+\lambda \frac{\partial \phi}{\partial t))^2-\tau(\frac{\partial y}{\partial x}+\lambda \frac{\partial \phi}{\partial x))^2)dxdt
$
da cui facilmente
$
\frac{d}{d\lambda}\mathcal L(y+\lambda\phi)_{|_{\lambda=0}}=2\int_{t_0}^t\int_0^l(\mu\frac{\partial y}{\partial t} \frac{\partial \phi}{\partial t)-\tau\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial \phi}{\partial x})dxdt.
$
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\mathcal L(y+\lambda\phi)=\int_{t_0}^t\int_0^l(\mu(\frac{\partial y}{\partial t}+\lambda \frac{\partial \phi}{\partial t))^2-\tau(\frac{\partial y}{\partial x}+\lambda \frac{\partial \phi}{\partial x))^2)dxdt
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da cui facilmente
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\frac{d}{d\lambda}\mathcal L(y+\lambda\phi)_{|_{\lambda=0}}=2\int_{t_0}^t\int_0^l(\mu\frac{\partial y}{\partial t} \frac{\partial \phi}{\partial t)-\tau\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial \phi}{\partial x})dxdt.
$
Ok, tutto chiaro =) ti ringrazio!
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