Problema con le derivate - Derivata dell'energia specifica - Moto permanente
Buonasera, ho problema, dovrei derivare rispetto alla direzione del moto principale l'equazione dell'energia specifica E= h+ V^2/(2g) = h + Q^2/(2gA^2), equazione dell'energia riguardante il moto permanente a superficie libera dell'acqua.
Il libro mi dice che è uguale a:
d/dx ( h + Q^2/(2gA^2) = dh/dx - Q^2/(gA^3) dA/dx
Si deriva l'area A lungo la x perchè l'energia varia con l'area lungo la progressiva, inoltre la Portata Q = cost.
La domanda matematica è: perchè la derivata della A viene moltiplcata del dA/dx?
Cioè la derivata di Q^2/(2gA^2) sarebbe -Q^2/(gA^3) ma perchè si moltiplica per da/dx?
Grazie
Il libro mi dice che è uguale a:
d/dx ( h + Q^2/(2gA^2) = dh/dx - Q^2/(gA^3) dA/dx
Si deriva l'area A lungo la x perchè l'energia varia con l'area lungo la progressiva, inoltre la Portata Q = cost.
La domanda matematica è: perchè la derivata della A viene moltiplcata del dA/dx?
Cioè la derivata di Q^2/(2gA^2) sarebbe -Q^2/(gA^3) ma perchè si moltiplica per da/dx?
Grazie
Risposte
Ciao, benvenuto sul forum! Si tratta del teorema di derivazione della funzione composta. Se hai una funzione $f(g(t))$ e ne vuoi calcolare la derivata rispetto a $t$, è:
$$\frac{\text{d}}{\text{d}t}f(g(t))=\frac{\text{d}f(g(t))}{\text{d}g(t)} \cdot \frac{\text{d}}{\text{d}t}g(t)$$
Ossia derivi la funzione "esterna" $f$ pensando $g$ come una variabile, e poi moltiplichi per la derivata di $g$ fatta rispetto alla variabile $t$. In questo caso $A$ dipende da $x$, e quindi hai $Q(A(x))$ da derivare rispetto a
$x$. Perciò, nella notazione di cui sopra, hai la potenza $-2$ al posto di $f$ ed $A$ al posto di $g$.
Per scrivere le formule correttamente, va bene come le hai scritte ma racchiudile tra due simboli di dollaro e verranno visualizzate come nel mio messaggio. Qui trovi un tutorial più dettagliato.
Inoltre, se non lo hai già letto, qui trovi il regolamento del forum nella sua interezza.
$$\frac{\text{d}}{\text{d}t}f(g(t))=\frac{\text{d}f(g(t))}{\text{d}g(t)} \cdot \frac{\text{d}}{\text{d}t}g(t)$$
Ossia derivi la funzione "esterna" $f$ pensando $g$ come una variabile, e poi moltiplichi per la derivata di $g$ fatta rispetto alla variabile $t$. In questo caso $A$ dipende da $x$, e quindi hai $Q(A(x))$ da derivare rispetto a
$x$. Perciò, nella notazione di cui sopra, hai la potenza $-2$ al posto di $f$ ed $A$ al posto di $g$.
Per scrivere le formule correttamente, va bene come le hai scritte ma racchiudile tra due simboli di dollaro e verranno visualizzate come nel mio messaggio. Qui trovi un tutorial più dettagliato.
Inoltre, se non lo hai già letto, qui trovi il regolamento del forum nella sua interezza.
Ti ringrazio per la risposta, comincio a capire.
Non ho capito bene perché hai scritto Q (A(x)), intendi dire che la portata Q, seppur costante, dipende da A(x) ?
Io pensavo che derivando la A(x) avrei ottenuto -2A^-3 e che di conseguenza fosse una funzione non composta.
Non ho capito bene perché hai scritto Q (A(x)), intendi dire che la portata Q, seppur costante, dipende da A(x) ?
Io pensavo che derivando la A(x) avrei ottenuto -2A^-3 e che di conseguenza fosse una funzione non composta.
PS scusatemi, scrivo con il cellulare e non riesco a rispettare le regole di scrittura.
Prego! Scusami, ho sbagliato a scrivere. Intendevo $[A(x)]^{-2}$, che è una funzione composta perché è la composizione $(f\circ g)(x)$ ottenuta componendo $f(y)=y^{-2}$ con $g(x)=A(x)$. Infatti hai che $f(A(x))=[A(x)]^{-2}$. Hai fatto bene a farti venire il dubbio: chiaramente, se $Q$ è costante non può dipendere da $x$.
Cerca di scrivere in futuro dal computer, altrimenti per formule più complicate potrebbe essere difficile da vedere e il regolamento prevede l'obbligo delle formule dai $30$ messaggi in su. Grazie!
Cerca di scrivere in futuro dal computer, altrimenti per formule più complicate potrebbe essere difficile da vedere e il regolamento prevede l'obbligo delle formule dai $30$ messaggi in su. Grazie!
Perfetto, ora è tutto chiaro. Ti ringrazio
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