Problema con la Teoria di Analisi Uno

[giuseppe.abbruzzese.7]

Salve questo è il secondo su questo Forum,
sono veramente contento di farne parte e dare il mio contributo..

Dovrei affrontare l'orale di analisi Uno però non saprei cosa portare

Ciò che Avevo pensato di Esporre sono

I limiti --> Però ho qualche problema con con la Dimostrazione del Teorema di Unicità del limite

Derivate --> Sembra che problemi non c'è ne siano, però è un argomento che su 10 portano 9,
quindi vorrei evitare..

Che cosa mi consigliate?

Grazie in Anticipo

[Trivroach]

Scusa ma così cosa possiamo dirti?
Devi collegare un argomento di Matematica alla tua tesina?

[feddy]

Potresti portare la definizione di continuita' e la definizione di limite e indagare la differenza tra le due definizioni (sto parlando di quelle scritte in simbologia ovviamente, non a parole)... se l'hai affrontata, anche l'uniforme continuita'

[anto_zoolander]

Per l'unicità del limite

sia $f$ una funzione di variabile reale, definita su un certo dominio $D$ e sia $x_0$ un punto di accumulazione per $D$. Se $f$ ammette limite $l$ per $x->x_0$ allora è unico

Per ipotesi $f$ è una funzione. Supponiamo che ci siano $l_1nel_2$ allora la funzione sta' sia nell'intorno $I_1=(l_1-epsilon,l_1+epsilon)$ sia nell'intorno $I_2=(l_2-epsilon,l_2+epsilon)$ ma per ipotesi $f$ è una funzione e per definizione non può stare sia nell'intorno $I_1$ sia nell'intorno $I_2$ dunque si genera un assurdo. Allora deve essere $l_1=l_2$

Ci sono anche altre dimostrazioni

[dissonance]

"Panpres96":
Sembra che problemi non c'è ne siano

attenzione

[anto_zoolander]

"Panpres96":...Dovrei affrontare l'orale di analisi Uno...

"Trivroach":...Devi collegare un argomento di Matematica alla tua tesina?

[vict85]

"anto_zoolander":Per l'unicità del limite

sia $f$ una funzione di variabile reale, definita su un certo dominio $D$ e sia $x_0$ un punto di accumulazione per $D$. Se $f$ ammette limite $l$ per $x->x_0$ allora è unico

Per ipotesi $f$ è una funzione. Supponiamo che ci siano $l_1nel_2$ allora la funzione sta' sia nell'intorno $I_1=(l_1-epsilon,l_1+epsilon)$ sia nell'intorno $I_2=(l_2-epsilon,l_2+epsilon)$ ma per ipotesi $f$ è una funzione e per definizione non può stare sia nell'intorno $I_1$ sia nell'intorno $I_2$ dunque si genera un assurdo. Allora deve essere $l_1=l_2$

Ci sono anche altre dimostrazioni

Personalmente non mi convince molto. Non tanto la dimostrazione in sé, ma le parole usate. Che significa che una funzione “sta” in un intorno? Io lo direi così:

Supponiamo per assurdo che si abbiamo due limiti distinti \(l_1\) e \(l_2 \). Sia quindi \(\displaystyle d = \frac{\lvert l_2 - l_1\rvert}{2} \). Per la definizione di limite esiste un \(\displaystyle \delta > 0 \) tale che per ogni \(\displaystyle x \) tale che \(\displaystyle 0 < x - x_0 < \delta \) si ha che \(\displaystyle f(x) \in (l_1 - d, l_1 + d) \cap (l_2 - d, l_2 + d) \). Ma questo è assurdo perché \(\displaystyle (l_1 - d, l_1 + d) \cap (l_2 - d, l_2 + d) = \emptyset \) per la definizione di \(\displaystyle d \).

[anto_zoolander]

@vict

si l'ho scritto con un formalismo assente. L'ho scritto volutamente così per dare un idea, annullando il rigore. Io uso una dimostrazione simile, ovvero questa:

definizione e ipotesi: precedenti

Supponiamo di avere $l_1nel_2$ per $x->x_0$ e $I(l_1,epsilon_1)capI(l_2,epsilon_2)=emptyset$

allora:

$forallepsilon_1>0existsB(x_0,delta_1)-{x_0}:f(x)inI(l_1,epsilon_1)$

$forallepsilon_2>0existsB(x_0,delta_2)-{x_0}:f(x)inI(l_2,epsilon_2)$

Ora prendendo $delta_3=min{delta_1,delta_2}$

$(B(x_0,delta_2)capB(x_0,delta_1))-{x_0}=B(x_0,delta_3)-{x_0}$

Da questo si deduce che se $x inB(x_0,delta_3)-{x_0}$
$f(x)$ appartiene a entrambi gli intorni, da cui si ha la contraddizione

$I(l_1,epsilon_1)capI(l_2,epsilon_2)neemptyset$

Ero in buona fede