Problema con la risoluzione di un Problema Di Cauchy

[andrea.onorati]

Ciao ragazzi, mi trovo a dover affrontare questo Problema di Cauchy

$y'= y/x+ e^(y/x)$
$y(1)=1$


seguendo il risultato del testo

pongo $y/x =z$ da cui
$y=z*x$
e
$y'=(z'x+zx')=z'x+z$

a questo punto non so come andare avanti, spero possiate aiutarmi, grazie in anticipo

[pilloeffe]

Ciao AndreaMister,

Mah, mi sembra sia molto semplice... Con la sostituzione che tu stesso hai proposto, si trova:

$z'x + z = z + e^z$

Semplificando la $z$ che compare ai due membri, l'equazione differenziale che si ottiene è del tipo a variabili separabili:

$frac{dz}{dx} \cdot x = e^z $

da cui si ottiene

$e^{-z} dz = frac{dx}{x}$

che si integra elementarmente. Poi alla fine, ricordandoti che $z = frac{y}{x}$, si trova facilmente $y$. Imponi la condizione $y(1) = 1$ e trovi facilmente il valore della costante.