Problema con la risoluzione di un integrale
Bonsoir!
Sto tentando di risolvere questo integrale $ int_()^() (sin(t)+tcos(t))e^(-t) dt $ inizialmente lo divido in $ int_()^() sin(t)e^(-t) dt + int_()^() tcos(t)e^(-t) $ a questo punto procedo per parti scegliendo come fattore differenziale $ g'(x)=e^(-t) $ la cui primitiva è $ g(x)=-e^(-t) $ e come fattore intero $ f(x)=sin(t) $ la cui derivata è $ f'(x)=cos(t) $ ... provo ad integrare per parti ed ottengo $ -sin(t)e^(-t)-int_()^() -cos(t)e^(-t) dt $ ..è corretto? Da qui in poi non so come procedere.. e sopratutto non so come fare con il secondo integrale-addendo nel quale ho scomposto l'integrale originale, dato che è composto da 3 termini... sarei molto grata se qualcuno potesse spiegarmi ^^
Sto tentando di risolvere questo integrale $ int_()^() (sin(t)+tcos(t))e^(-t) dt $ inizialmente lo divido in $ int_()^() sin(t)e^(-t) dt + int_()^() tcos(t)e^(-t) $ a questo punto procedo per parti scegliendo come fattore differenziale $ g'(x)=e^(-t) $ la cui primitiva è $ g(x)=-e^(-t) $ e come fattore intero $ f(x)=sin(t) $ la cui derivata è $ f'(x)=cos(t) $ ... provo ad integrare per parti ed ottengo $ -sin(t)e^(-t)-int_()^() -cos(t)e^(-t) dt $ ..è corretto? Da qui in poi non so come procedere.. e sopratutto non so come fare con il secondo integrale-addendo nel quale ho scomposto l'integrale originale, dato che è composto da 3 termini... sarei molto grata se qualcuno potesse spiegarmi ^^
Risposte
Per gli integrali in cui vi è l'esponenziale moltiplicato per le funzioni trigonometriche ci sono delle formule apposite. Si può arrivare al risultato anche diversamente, è ovvio; ma credo che valga la pena imparare una formula sola da cui poter facilmente ottenere le altre:
\[ \int e^{\alpha x} \sin {\beta x} \ dx = \frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2 + \beta^2} ( \alpha \sin \beta x - \beta \cos \beta x) + c, \ \ c \in \mathbb {R} \]
Nel tuo caso, il primo termine
\[ \int e^{-t} \sin t \ dt = \frac{e^{-t}}{2} ( - \sin t - \cos t) + c \]
E il secondo puoi facilmente ricondurlo nella stessa forma del primo.
Ci sono anche altre formule di questi tipo, ma ti consiglio di impararne una sola, perché in qualche modo ci si può riportare a quella.
\[ \int e^{\alpha x} \sin {\beta x} \ dx = \frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2 + \beta^2} ( \alpha \sin \beta x - \beta \cos \beta x) + c, \ \ c \in \mathbb {R} \]
Nel tuo caso, il primo termine
\[ \int e^{-t} \sin t \ dt = \frac{e^{-t}}{2} ( - \sin t - \cos t) + c \]
E il secondo puoi facilmente ricondurlo nella stessa forma del primo.
Ci sono anche altre formule di questi tipo, ma ti consiglio di impararne una sola, perché in qualche modo ci si può riportare a quella.
Wuao! Come si chiamano queste formule? Non riesco a trovarle e a quanto pare sono utilissime!
Per il secondo ho provato a ricondurmi alla formula da te scritta scambiando il seno con il coseno è portando fuori la t.. è corretto? $ int_()^() tcos(t)e^(-t)dt = t[e^(-t)/2(-cos(t)-sin(t))]+c $
Per il secondo ho provato a ricondurmi alla formula da te scritta scambiando il seno con il coseno è portando fuori la t.. è corretto? $ int_()^() tcos(t)e^(-t)dt = t[e^(-t)/2(-cos(t)-sin(t))]+c $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo