Problema con la positività di una funzione
$f(x)=x-arctg((x-1)/(2-x))$
Per studiarne la positività ho studiato le due funzioni separatamente.
La funzione arctg cresce sempre, e interseca l'asse delle x nel punto $ (1,0)$. E' positiva per x appartenente a $]1,2[$
$x=2$ è un asintoto verticale alto a sinistra e basso a destra.
La funzione $y=x$ è la bisettrice del primo e terzo quadrante, e interseca quindi il grafico di arctg in due punti, che chiameremo a e b.
Quindi la funzione completa è positiva per x appartenente a $ [a,b] U ]2, +∞[$.
a e b risultano quindi le intersezioni con gli assi.
Ora, tutto andrebbe bene, se non fosse che, verificando il mio disegno della funzione, con uno fatto al computer, quello al computer interseca l'asse delle x una sola volta.
Infatti il limite per x che tende a 2- è positivo. Però dallo studio della positività non dovrebbe essere un limite negativo, dato che 2- non appartiene nè $[a,b]$ nè a $]2, +∞[$ ?!
Non capisco dove sbaglio...
Per studiarne la positività ho studiato le due funzioni separatamente.
La funzione arctg cresce sempre, e interseca l'asse delle x nel punto $ (1,0)$. E' positiva per x appartenente a $]1,2[$
$x=2$ è un asintoto verticale alto a sinistra e basso a destra.
La funzione $y=x$ è la bisettrice del primo e terzo quadrante, e interseca quindi il grafico di arctg in due punti, che chiameremo a e b.
Quindi la funzione completa è positiva per x appartenente a $ [a,b] U ]2, +∞[$.
a e b risultano quindi le intersezioni con gli assi.
Ora, tutto andrebbe bene, se non fosse che, verificando il mio disegno della funzione, con uno fatto al computer, quello al computer interseca l'asse delle x una sola volta.
Infatti il limite per x che tende a 2- è positivo. Però dallo studio della positività non dovrebbe essere un limite negativo, dato che 2- non appartiene nè $[a,b]$ nè a $]2, +∞[$ ?!
Non capisco dove sbaglio...
Risposte
Per cominciare sfrutterei l'essere l'arcotangente una funzione dispari per cui [tex]-\arctan(\frac{x-1}{2-x})=\arctan(\frac{x-1}{x-2})[/tex] cosicché puoi studiare meglio la positività della funzione data (essendo la somma di quantità positive una quantità positiva) e la negatività (essendo la somma di quantità negative una quantità negativa). Non ho letto il tuo post visto che mi perdo nei suoi meandri per cui non ti saprei indicare l'errore ma comunque questo è un inizio sicuro!
E' la stessa cosa per la positività, perchè comunque alla fine le due funzioni da confrontare sono
$y=x$
e
$y=arctan((x-1)/(2-x))$
no?
$y=x$
e
$y=arctan((x-1)/(2-x))$
no?
Se tu riuscissi a risolvere numericamente [tex]x>\arctan(\frac{x-1}{2-x})[/tex] risolveresti il problema, ma il problema è che numericamente non lo si riesce.
Io ti ho solo dato una soluzione parziale, per adesso... non ti prometto nulla!
Io ti ho solo dato una soluzione parziale, per adesso... non ti prometto nulla!
Infatti stavo cercando di risolverla graficamente... individuando due punti approssimativi alfa e beta...
Buona fortuna!
Ok, capito l'errore.
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