Problema con la matrice Jacobiana

[rettile56]

Buongiorno a tutti,
il problema è questo:

-Ho due vettori $ ul(q) $ e $ ul(Q) $ tale che sia valida la trasformazione invertibile q=q(Q).
-Ho le rispettive derivate temporali $ ul( dot q) $e $ ul(dot Q) $ (in realtà è un problema di fisica, ma non credo sia necessario conoscerlo per risolvere questa questione).
-Si ha che in qualche modo: $ ul( dot q) = J cdot ul( dot Q) $ dove J è la matrice Jacobiana--> $ J = {partial ul(q)} / { partial ul(Q)} $

Non riesco a capire per quale motivo si ha che: $ { partial ul( dot q) } /{partial ul(dot Q)}= {partial ul(q)} / { partial ul(Q)} $

Sono sicuro che è una cosa banale, ma non ci arrivo proprio.
Grazie per l'aiuto

(ps lo metto in Analisi perchè ha principalmente a che fare con derivate, ma non sono sicuro sia la sezione giusta)

[gugo82]

Non ti far fuorviare dal fatto che \(\dot{\mathbf{q}}\) e \(\dot{\mathbf{Q}}\) sembrano dipendere da \(\mathbf{q}\) e \(\mathbf{Q}\)... Quando si trattano problemi di Meccanica e si incontrano l derivate del tipo \(\frac{\partial}{\partial \dot{\mathbf{Q}}}\) si sottointende che si deve derivare come se le \(\dot{\mathbf{Q}}\) fossero delle variabili indipendenti.

Alla luce di ciò, è evidente che se \(\dot{\mathbf{q}} = J\cdot \dot{\mathbf{Q}}\) si ha:
\[
\frac{\partial \dot{\mathbf{q}}}{\partial \dot{\mathbf{Q}}} = J = \frac{\partial \mathbf{q}}{\partial \mathbf{Q}}\; ,
\]
no?

[rettile56]

mmm no...

io direi piuttosto che $ {dot q} / {dot Q} = {partial q) / {partial Q} = J $

Da dove saltano fuori le derivate delle q puntate?

[gugo82]

Aspetta... Forse ti è sfuggito questo passaggio:

"gugo82":Quando si trattano problemi di Meccanica e si incontrano l derivate del tipo \(\frac{\partial}{\partial \dot{\mathbf{Q}}}\) si sottointende che si deve derivare come se le \(\dot{\mathbf{Q}}\) fossero delle variabili indipendenti.

In altri termini, pensa alla relazione tra \(\dot{\mathbf{q}}\) e \(\dot{\mathbf{Q}}\) come se coinvolgesse due variabili ausiliarie, chiamale ad esempio \(\mathbf{v}\) e \(\mathbf{V}\), e recitasse:
\[
\mathbf{v} = \mathbf{v} \left( \mathbf{V}\right) = J\cdot \mathbf{V}\; ;
\]
in tal caso, quanto diresti che vale la matrice \(\displaystyle \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial \mathbf{V}}\)?


P.S.:

"pollo93":io direi piuttosto che $ {dot q} / {dot Q} = {partial q) / {partial Q} = J $

E da quando in qua sono definiti i rapporti tra vettori?

[rettile56]

oibò...è vero (e anche piuttosto ovvio).

mi sono tirato una grossa manata di "maccerto" . Graciasss!