Problema con integrazione per parti
Ciao a tutti, non riesco a venire a capo di questo esercizio:
Calcolare: \(\displaystyle \int sin^3x \ cos \ x\ dx \).
Ho pensato di applicare il metodo di integrazione per parti, ma non riesco a ricondurmi ad un risultato... Ho fatto i seguenti passaggi:
considero: $f(x)=sin^3x$, $g'(x)=cos x$ $===>$ $g(x) = sin x$.
Ora la formula mi dice che devo procedere in questo modo: \(\displaystyle \int f(x)\ g'(x) \ dx = f(x)\ g(x) - \int f'(x)\ g(x) \ dx \)
Nel mio caso il risultato sarebbe: \(\displaystyle sin^4x-\int 3sin^3x\ cosx\ dx \)
In questo modo ho solo "spostato" il problema, in quando svolgere quell'integrale rimasto significherebbe riapplicare lo stesso metodo, con il solito risultato... Sto sbagliando approccio?
Calcolare: \(\displaystyle \int sin^3x \ cos \ x\ dx \).
Ho pensato di applicare il metodo di integrazione per parti, ma non riesco a ricondurmi ad un risultato... Ho fatto i seguenti passaggi:
considero: $f(x)=sin^3x$, $g'(x)=cos x$ $===>$ $g(x) = sin x$.
Ora la formula mi dice che devo procedere in questo modo: \(\displaystyle \int f(x)\ g'(x) \ dx = f(x)\ g(x) - \int f'(x)\ g(x) \ dx \)
Nel mio caso il risultato sarebbe: \(\displaystyle sin^4x-\int 3sin^3x\ cosx\ dx \)
In questo modo ho solo "spostato" il problema, in quando svolgere quell'integrale rimasto significherebbe riapplicare lo stesso metodo, con il solito risultato... Sto sbagliando approccio?
Risposte
l'integrale è immediato perchè è del tipo
$int f^{n}(x)cdotf'(x)dx$
$int f^{n}(x)cdotf'(x)dx$
E' vero, ho perso un sacco di tempo a capire cosa sbagliavo per nulla! -.-"
Grazie mille!
Grazie mille!
Quello che indica raf85, ovviamente, è il modo più veloce e furbo di risolvere l'esercizio.
Però vale la pena notare che anche il tuo metodo è corretto e porta a un risultato significativo!
Tu hai correttamente ottenuto, per parti:
Chiamando $I(x)$ il tuo integrale di partenza:
la relazione che tu hai ottenuto si può riscrivere e manipolare in questo modo:
L'ultima espressione rappresenta proprio la primitiva cercata !
Quindi, voilà, l'avevi risolto correttamente, anche se non nel modo più furbo, ti mancava il passaggio finale.
Però vale la pena notare che anche il tuo metodo è corretto e porta a un risultato significativo!
Tu hai correttamente ottenuto, per parti:
\(\displaystyle
\int \sin^3 x \, \cos x \,\mathrm{d}x = \sin^4x-3\int \sin^3x\, \cos x \,\mathrm{d}x +c
\)
\int \sin^3 x \, \cos x \,\mathrm{d}x = \sin^4x-3\int \sin^3x\, \cos x \,\mathrm{d}x +c
\)
Chiamando $I(x)$ il tuo integrale di partenza:
\(\displaystyle
I(x) = \int \sin^3{x} \, \cos{x} \,\mathrm{d}x
\)
I(x) = \int \sin^3{x} \, \cos{x} \,\mathrm{d}x
\)
la relazione che tu hai ottenuto si può riscrivere e manipolare in questo modo:
\(\displaystyle
\begin{align}
I(x) &= \sin^4x -3I(x) +c \\
I(x) + 3I(x) &= \sin^4 x +c \\
4I(x) &= \sin^4 x + c \\
I(x) &= \frac{1}{4} \sin^4 x + c
\end{align}
\)
\begin{align}
I(x) &= \sin^4x -3I(x) +c \\
I(x) + 3I(x) &= \sin^4 x +c \\
4I(x) &= \sin^4 x + c \\
I(x) &= \frac{1}{4} \sin^4 x + c
\end{align}
\)
L'ultima espressione rappresenta proprio la primitiva cercata
!Quindi, voilà, l'avevi risolto correttamente, anche se non nel modo più furbo, ti mancava il passaggio finale.
Cavolo, bel metodo! 
Devo prendere un po di confidenza con l'argomento prima di cimentarmi in queste intuizioni credo, ma è un bellissimo spunto! Grazie mille davvero! In fondo è un approccio che potrei utilizzare sempre in questi casi quando mi si ripresenta l'integrale di partenza!
Devo prendere un po di confidenza con l'argomento prima di cimentarmi in queste intuizioni credo, ma è un bellissimo spunto! Grazie mille davvero! In fondo è un approccio che potrei utilizzare sempre in questi casi quando mi si ripresenta l'integrale di partenza!
Prego!
Esatto, il metodo lo puoi usare ogni volta che per parti ti riconduci all'integrale di partenza, a patto però che l'integrale a secondo membro non si presenti con coefficiente $-1$ altrimenti ti si semplifica
Esatto, il metodo lo puoi usare ogni volta che per parti ti riconduci all'integrale di partenza, a patto però che l'integrale a secondo membro non si presenti con coefficiente $-1$ altrimenti ti si semplifica
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo