Problema con integrali tripli
La temperatura su una sfera di raggio aa varia con la latitudine secondo la formula
T(θ,ϕ)=10+sinϕ, con θ∈[0,2π],ϕ∈[0,π]. Determinare la temperatura media della sfera, data dal quoziente dell'integrale della temperatura sulla sfera diviso la superficie della sfera.
Qualcuno saprebbe risolverlo?
T(θ,ϕ)=10+sinϕ, con θ∈[0,2π],ϕ∈[0,π]. Determinare la temperatura media della sfera, data dal quoziente dell'integrale della temperatura sulla sfera diviso la superficie della sfera.
Qualcuno saprebbe risolverlo?
Risposte
Ciao mapolluz,
La superficie di una sfera di raggio $a$ è data da $S = frac{dV}{da} = 4\pi a^2 $, per cui secondo me basta risolvere l'integrale seguente:
$ int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} frac{10+sin\phi}{4\pi a^2} d\phi d\theta = frac{1}{4\pi a^2} int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} (10+sin\phi) d\phi d\theta $
che non mi pare di difficoltà insormontabile...
EDIT: errato, vedi l'integrale corretto di seguito
La superficie di una sfera di raggio $a$ è data da $S = frac{dV}{da} = 4\pi a^2 $, per cui secondo me basta risolvere l'integrale seguente:
$ int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} frac{10+sin\phi}{4\pi a^2} d\phi d\theta = frac{1}{4\pi a^2} int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} (10+sin\phi) d\phi d\theta $
che non mi pare di difficoltà insormontabile...
EDIT: errato, vedi l'integrale corretto di seguito
Ho dato quel titolo solo perchè ero di fretta e ho scritto il nome del capitoko il cui ho trovato l'esercizio nel libro e volevo avere conferma di non aver frainteso l'esercizio. Comunque anche io ho il tuo stesso procedimento solo che non avendo nessun valore di a e poichè il libro chiede un risultato puramente numerico, avevo paura di aver sbagliato impostazione invece serve il dato del raggio. Grazie mille comunque!
Prova a supporre che il raggio sia unitario, cioè $a = 1$: alcuni testi danno il risultato numerico in questo caso. Altrimenti se sai il risultato postalo che facciamo qualche ulteriore indagine... 
Ho appena chiesto al professore e mi ha risposto che e' un quoziente dove numeratore e denominatore dipendono da a e quindi il raggio non serve nel risultato finale.
L'unica cosa che mi viene in mente è che ci sia anche una $\rho $ che varia da $0$ ad $a$ e siccome in tal caso ci sarebbe $ \rho d\rhod\phi d\theta $ ecco che magicamente sparisce il raggio $a$...
EDIT: errato, vedere la risposta corretta nel seguito.
EDIT: errato, vedere la risposta corretta nel seguito.
Quindi in pratica era davvero un integrale triplo!! ahahah
e basta moltiplicare per a l'integrale, ma comunque non va a semplificarsi completamente con quella sotto
e basta moltiplicare per a l'integrale, ma comunque non va a semplificarsi completamente con quella sotto
EDIT: post cancellato perché errato.
Come fai a integrare il primo passaggio? se integri 1 tra a e 0, ti viene a non a^2/2
EDIT: post cancellato perché errato
ma perchè metti ro se comunque non cambio le coordinate ?
"pilloeffe":
L'unica cosa che mi viene in mente è che ci sia anche una $ \rho $ che varia da $ 0 $ ad $ a $ e siccome in tal caso ci sarebbe $ \rho d\rho d\phi d\theta $ ecco che magicamente sparisce il raggio $ a $...
secondo me c'è un po' come quando si calcola la carica con Gauss: integri su delle superfici sferiche sempre più grandi fino al raggio della sfera.
ma puoi integrare un valore che non viene espresso nella funzione?
ma non è il problema che dice che hai una sfera di temperatura? se hai una sfera questa avrà anche un raggio ed in generale mi viene da pensare che la temperatura possa variare anche con il raggio, dato che cambia l'angolo.
Se parliamo di temperatura media sulla superficie della sfera, in realtà non vedo perché il raggio $\rho $ dovrebbe variare tra $0 $ e $a$: rimane $a$. Se invece parliamo di temperatura media della sfera, allora in coordinate sferiche $dx dy dz = \rho^2 sin \theta d\rho\d\theta \d\phi $, $\rho$ varierebbe tra $0$ e $a$, ma in tal caso la divisione andrebbe fatta per il volume della sfera $V = 4/3 \pi a^3 $
Aspetta, cancella tutto quanto precedentemente detto, mi sono risposto da solo qui: se parliamo di temperatura media sulla superficie della sfera, in realtà non vedo perché il raggio $\rho $ dovrebbe variare tra $0 $ e $a$: rimane $a$. Infatti rimane $a$, ma il fatto è che l'elemento di superficie sferica è $dS = a^2 sin\theta d\phi d\theta $, quindi l'integrale corretto non è quello del mio primo post di risposta, ma è il seguente:
$ int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} frac{10+sin\phi}{4\pi a^2} a^2 sin\theta d\phi d\theta= frac{1}{4\pi} int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} (10+sin\phi) d\phi sin\theta d\theta $
Aspetta, cancella tutto quanto precedentemente detto, mi sono risposto da solo qui: se parliamo di temperatura media sulla superficie della sfera, in realtà non vedo perché il raggio $\rho $ dovrebbe variare tra $0 $ e $a$: rimane $a$. Infatti rimane $a$, ma il fatto è che l'elemento di superficie sferica è $dS = a^2 sin\theta d\phi d\theta $, quindi l'integrale corretto non è quello del mio primo post di risposta, ma è il seguente:
$ int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} frac{10+sin\phi}{4\pi a^2} a^2 sin\theta d\phi d\theta= frac{1}{4\pi} int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} (10+sin\phi) d\phi sin\theta d\theta $
giusto, hai ragione. anche perchè avevo interpretato la consegna un po' a modo mio. nel senso che avevo risolto col volume ma pensavo che il commento sul quoziente fosse un commento dell'OP e non parte vera e propria del testo dell'esercizio. a meglio guardare però dice espressamente con la superficie, quindi...
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