Problema con integrali
Buongiorno a tutti, ho un problema con questi integrali:
$int(x+5)/(x-5)dx$
$int1/(1+sqrtx)dx$ --> da sostituire avendo $t=sqrtx$ (con la sostituzione arrivo ad avere $2intt/(1+t)dt$ e non so come andare avanti..quando c'e una variabile fratto qualcosa come ci si comporta per la risoluzione?)
e infine:
$intx/((x-1)^2(x^2+x+2))dx$
grazie infinite a tutti coloro che potranno aiutarmi
$int(x+5)/(x-5)dx$
$int1/(1+sqrtx)dx$ --> da sostituire avendo $t=sqrtx$ (con la sostituzione arrivo ad avere $2intt/(1+t)dt$ e non so come andare avanti..quando c'e una variabile fratto qualcosa come ci si comporta per la risoluzione?)
e infine:
$intx/((x-1)^2(x^2+x+2))dx$
grazie infinite a tutti coloro che potranno aiutarmi
Risposte
Per il primo dividi numeratore per denominatore....
1) Come ha detto camillo devi dividere:
(x+5)/(x-5)=1+10/(x-5)
Integrando ottieni : x+10ln(abs(x-5))+C
2)
sqrt(x)=t->x=t^2->dx=2tdt come hai detto tu
Ora dividi come sopra:
t/(t+1)=1-1/(t+1) ora integri e ottieni: 2t-2ln(abs(t+1))+C e sostituisci a t=sqrt(x)
3) Scrivi meglio la traccia per cortesia? grazie
(x+5)/(x-5)=1+10/(x-5)
Integrando ottieni : x+10ln(abs(x-5))+C
2)
sqrt(x)=t->x=t^2->dx=2tdt come hai detto tu
Ora dividi come sopra:
t/(t+1)=1-1/(t+1) ora integri e ottieni: 2t-2ln(abs(t+1))+C e sostituisci a t=sqrt(x)
3) Scrivi meglio la traccia per cortesia? grazie
Primo:
` int((x)/(x-5)dx) + int (5/(x-5)dx)
e risolvi i due integralini
` int((x)/(x-5)dx) + int (5/(x-5)dx)
e risolvi i due integralini
"chiara_genova":
Buongiorno a tutti, ho un problema con questi integrali:
$int(x+5)/(x-5)dx$
$int1/(1+sqrtx)dx$ --> da sostituire avendo $t=sqrtx$ (con la sostituzione arrivo ad avere $2intt/(1+t)dt$ e non so come andare avanti..quando c'e una variabile fratto qualcosa come ci si comporta per la risoluzione?)
e infine:
$intx/((x-1)^2(x^2+x+2))dx$
grazie infinite a tutti coloro che potranno aiutarmi
Il primo passo per seguire questi integrali è quello di vedere i gradi del numeratore e del denominatore; se il primo è maggiore o uguale al secondo, occorre eseguire per prima cosa la divisione tra polinomi, così come si impara al primo anno delle superiori.
vi ringrazio molto. il mio dubbio, scusate l-ignoranza, e' proprio sulla divisione dei due polinomi di primo grado,(x+5)/(x-5), e sul caso $int((x)/(x-5)dx)$
potete mica esplicitare tutti i passaggi che fate nel calcolo? ancora grazie infinite
potete mica esplicitare tutti i passaggi che fate nel calcolo? ancora grazie infinite
"nicasamarciano":
3) Scrivi meglio la traccia per cortesia? grazie
in che senso? ho copiato paro paro il testo dell'esercizio, non si legge bene?
1)
(x+5)/(x-5)=(x-5+10)/(x-5)=(x-5)/(x-5)+10/(x-5)=1+10/(x-5)
2) t/(t+1)=(t+1-1)/(t+1)=(t+1)/(t+1)-1/(t+1)=1-1/(t+1)
chiaro?
3) al denominatore c'è il prodotto tra (x-1)^2 ed (x^2+x+2)?
(x+5)/(x-5)=(x-5+10)/(x-5)=(x-5)/(x-5)+10/(x-5)=1+10/(x-5)
2) t/(t+1)=(t+1-1)/(t+1)=(t+1)/(t+1)-1/(t+1)=1-1/(t+1)
chiaro?
3) al denominatore c'è il prodotto tra (x-1)^2 ed (x^2+x+2)?
ora si! Grazie infinite!
La frazione $\frac{x}{x-5}$ si può scrivere come $1+\frac{5}{x-5}$, trovare la primitiva di questa funzione è semplice.
Per arrivare a questa scrittura puoi ragionare in questo modo: $\frac{x}{x-5}=\frac{x-5+5}{x-5}=\frac{x-5}{x-5}+\frac{5}{x-5}=1+\frac{5}{x-5}$
Oppure puoi anche fare una divisione polinomiale fra $x$ e $x-5$, tenendo conto che $\frac{x}{x-5}$, come del resto ogni frazione, si può scrivere come: quoziente + resto/divisore.
Quando il grado del numeratore è uguale a quello del numeratore fai prima con il primo metodo, quando invece il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore ti conviene fare una divisione polinomiale.
In ogni caso quando devi determinare la primitiva di una frazione, in cui numeratore e denominatore sono polinomi, devi sempre fare in modo che il grado del sopra sia strettamente minore del grado del sotto.
Per arrivare a questa scrittura puoi ragionare in questo modo: $\frac{x}{x-5}=\frac{x-5+5}{x-5}=\frac{x-5}{x-5}+\frac{5}{x-5}=1+\frac{5}{x-5}$
Oppure puoi anche fare una divisione polinomiale fra $x$ e $x-5$, tenendo conto che $\frac{x}{x-5}$, come del resto ogni frazione, si può scrivere come: quoziente + resto/divisore.
Quando il grado del numeratore è uguale a quello del numeratore fai prima con il primo metodo, quando invece il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore ti conviene fare una divisione polinomiale.
In ogni caso quando devi determinare la primitiva di una frazione, in cui numeratore e denominatore sono polinomi, devi sempre fare in modo che il grado del sopra sia strettamente minore del grado del sotto.
Il terzo lo devi scomporre nel seguente modo:
$A/(x-1)+B/(x-1)^2+(Cx+D)/(x^2+x+2)$
da cui si ricavano i valori:
$A=1/16, B=1/4, C=-1/16, D=-3/8$
Ottieni così la somma di 4 semplici integrali.
$A/(x-1)+B/(x-1)^2+(Cx+D)/(x^2+x+2)$
da cui si ricavano i valori:
$A=1/16, B=1/4, C=-1/16, D=-3/8$
Ottieni così la somma di 4 semplici integrali.
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