Problema con integrale indefinito
Ciao a tutti, premetto che in matematica sono molto arruginito, ma ognitanto mi succede di riprendere alla mano alcuni concetti.
In questo caso ho un integrale con la seguente forma:
A, dh, s, sono vettori nello spazio cartesiano (per il mio utilizzo a coordinate cartesiane).
Specifico che il simbolo a 'v' rovesciata indica il prodotto vettoriale tra i vettori "dh" ed "s"
...e fin qui funziona tutto!
Lo stesso integrale lo si può scrivere nella formula:
Dove con "s^" indico un versore adimensionale dello stesso verso di "s, vettore".
Il mio problema è che a questo punto vorrei anche eseguire un'altra operazione:
Ponendo "A" = costante
Intendo determinare l'insieme di punti individuati da "s, vettore"...per ogni "dh, vettore". L'insieme dei vettori "s" dovrebbe individuare una superficie curva e chiusa su di un lato.
Insomma, dall'integrale sopra descritto vorrei (derivare?) ricavare "s, vettore". La soluzione potrebbe anche essere banale, ma io sono piuttosto a digiuno di questa materia.
grazie per l'attenzione, attendo vostri pareri.
In questo caso ho un integrale con la seguente forma:
A, dh, s, sono vettori nello spazio cartesiano (per il mio utilizzo a coordinate cartesiane).
Specifico che il simbolo a 'v' rovesciata indica il prodotto vettoriale tra i vettori "dh" ed "s"
...e fin qui funziona tutto!
Lo stesso integrale lo si può scrivere nella formula:
Dove con "s^" indico un versore adimensionale dello stesso verso di "s, vettore".
Il mio problema è che a questo punto vorrei anche eseguire un'altra operazione:
Ponendo "A" = costante
Intendo determinare l'insieme di punti individuati da "s, vettore"...per ogni "dh, vettore". L'insieme dei vettori "s" dovrebbe individuare una superficie curva e chiusa su di un lato.
Insomma, dall'integrale sopra descritto vorrei (derivare?) ricavare "s, vettore". La soluzione potrebbe anche essere banale, ma io sono piuttosto a digiuno di questa materia.
grazie per l'attenzione, attendo vostri pareri.
Risposte
Il "per ogni dh" non ha senso, visto che h e' la variabile di integrazione, e dunque una variabile muta: suppongo anche che s dipenda da h. Una cosa non ho capito: l'integrale, per come l'hai scritto, non e' indefinito, ma e' esteso a tutto R^3, giusto? Se e' cosi', credo che la via sia, supponendo A costante, derivare sotto il segno di integrale, ed ottenere un'equazione integro-differenziale; ma prima di arrivare a cio' vorrei essere sicuro che le cose stiano veramente cosi'.
Luca77
http://www.llussardi.it
Luca77
http://www.llussardi.it
E' un po' che sul forum compaiono esercizi che richiedono
piu' fatica per interpretarli che per risolverli!
Mi chiedo se gli estensori dei medesimi li rileggono
dopo averli postati:penso che questa piccola fatica
il forum se la meriti.
karl.
piu' fatica per interpretarli che per risolverli!
Mi chiedo se gli estensori dei medesimi li rileggono
dopo averli postati:penso che questa piccola fatica
il forum se la meriti.
karl.
X Luca77
Infatti, come supponi s dipende da h, se con h intendiamo la curva e con dh il suo tratto infinitesimo.
s è il tratto rettilineo che separa un punto della curva da un punto arbitrariamente scelto nello spazio, che potrei chiamare: S(x,y,z).
Nel caso più semplice da cui son partito la curva è una retta dunque infinita. Se non mi sbaglio, in tal caso l'integrale dovrebbe risolvere in:
A = 2c / s
Mi rendo conto di aver detto una bella cavolata quando ho espresso: "...per ogni dh", tentando di riformulare potrei dire che cerco una equazione che mi ritorni i punti S(x,y,z) dello spazio per i quali vale A = Cost Con "Cost" = valore assegnato.
Ora non ho tempo di pubblicare uno schema, ma se le cose risultano di difficile interpretazione lo farò presto.
Saluti,
Paolo
Infatti, come supponi s dipende da h, se con h intendiamo la curva e con dh il suo tratto infinitesimo.
s è il tratto rettilineo che separa un punto della curva da un punto arbitrariamente scelto nello spazio, che potrei chiamare: S(x,y,z).
Nel caso più semplice da cui son partito la curva è una retta dunque infinita. Se non mi sbaglio, in tal caso l'integrale dovrebbe risolvere in:
A = 2c / s
Mi rendo conto di aver detto una bella cavolata quando ho espresso: "...per ogni dh", tentando di riformulare potrei dire che cerco una equazione che mi ritorni i punti S(x,y,z) dello spazio per i quali vale A = Cost Con "Cost" = valore assegnato.
Ora non ho tempo di pubblicare uno schema, ma se le cose risultano di difficile interpretazione lo farò presto.
Saluti,
Paolo
Una cosa non ho capito: allora l'integrale e' un integrale lungo una curva, dico bene?
Luca77
http://www.llussardi.it
Luca77
http://www.llussardi.it
Si luca, dici bene, è un integrale lungo una curva.
Come avevo promesso ho disegnato uno schema, così è più facile capirsi.
Per la gioia di qualcunto, tanto per complicate le cose, ho cambiato alcuni simboli:
-) "s" diventa "r" poiché mi e parso che luca77 abbia preferito indicare tale vettore con la lettera "r", e anche perché magari ciò avrebbe potuto accontentare Laplace.
--) Poi, visto che ora "dh" è un elemento di una curva qualsiasi, non solo di una retta, allora per semplicità preferisco definite un intervallo di integrazione (l - 0) dove "l" è la lunghezza della curva.
dunque "dh" diventa "dl".
Abbiamo:
-) Una curva di lunghezza " l " (in verde).
-) Da " dl " (elemento della curva evidenziato in arancione) spicca il suo vettore (come dicevo si sceglie un senso di percorrenza della curva).
con criterio arbitrario scelgo un punto nello spazio, ora è: R(x,y,z).
-) " r, vettore " è la congiungende con verso: R(x,y,z) - dl(x,y,z)
-) " dA, vettore " nasce dal prodotto vettoriale dl x r , per cui giace sul piano perpendicolare al verso di " dl ", ed è anche perpendicolare a entrambi i vettori " dl r ".
...riscrivo:
Integrando...
Nella figura mi sono dimenticato di definire l'integrale " da 0 a l ".
Ora, io so che tutti i punti R(x,y,z,) che soddisfano un determinato valore di "A" individuano una superficie che può essere molto approssimativamente disegnata in questo modo:
Ci sto provando, ma non sono ancora riuscito a trovare una equazione che mi dia l'insieme di "R" ad un dato valore di "A".
Buona serata a tutti, e a presto.
Paolo
Come avevo promesso ho disegnato uno schema, così è più facile capirsi.
Per la gioia di qualcunto, tanto per complicate le cose, ho cambiato alcuni simboli:
-) "s" diventa "r" poiché mi e parso che luca77 abbia preferito indicare tale vettore con la lettera "r", e anche perché magari ciò avrebbe potuto accontentare Laplace.
--) Poi, visto che ora "dh" è un elemento di una curva qualsiasi, non solo di una retta, allora per semplicità preferisco definite un intervallo di integrazione (l - 0) dove "l" è la lunghezza della curva.
dunque "dh" diventa "dl".
Abbiamo:
-) Una curva di lunghezza " l " (in verde).
-) Da " dl " (elemento della curva evidenziato in arancione) spicca il suo vettore (come dicevo si sceglie un senso di percorrenza della curva).
con criterio arbitrario scelgo un punto nello spazio, ora è: R(x,y,z).
-) " r, vettore " è la congiungende con verso: R(x,y,z) - dl(x,y,z)
-) " dA, vettore " nasce dal prodotto vettoriale dl x r , per cui giace sul piano perpendicolare al verso di " dl ", ed è anche perpendicolare a entrambi i vettori " dl r ".
...riscrivo:
Integrando...
Nella figura mi sono dimenticato di definire l'integrale " da 0 a l ".
Ora, io so che tutti i punti R(x,y,z,) che soddisfano un determinato valore di "A" individuano una superficie che può essere molto approssimativamente disegnata in questo modo:
Ci sto provando, ma non sono ancora riuscito a trovare una equazione che mi dia l'insieme di "R" ad un dato valore di "A".
Buona serata a tutti, e a presto.
Paolo
C'e' qualcosa che non va nella tua spiegazione. Anzitutto l'integrale da te scritto non e' scritto in modo formalmente corretto; esso ha, anzi, la tipica forma di un integrale per fisici o ingegneri. In Matematica non e' definito, ad esempio, il prodotto vettoriale tra r e dl, non essendo definito dl. A questo punto uno potrebbe dire che comunque sia ci siamo capiti sul significato di quell'integrale, ed effettivamente e' cosi'. Ma nel momento in cui chiedi una sorta di inversione di quella formula, ecco che, anche per una interpretazione corretta del problema, l'integrale va scritto per bene.
Ora io non capisco le tue figure; l'unica cosa variabile, una volta fissata A, e' solo la curva su cui integri. Quindi, assegnando il valore di A, teoricamente uno potrebbe chiedersi come e' fatta la curva affinche' quell'integrale di linea restituisca A. Non capisco dunque i tuoi disegni di alcune superfici...
Il tuo problema e' quindi quello di trovare la curva. A occhio pero' mi sa tanto che ci siano molte curve che risolvono il problema.
Che dici?
Luca77
http://www.llussardi.it
Ora io non capisco le tue figure; l'unica cosa variabile, una volta fissata A, e' solo la curva su cui integri. Quindi, assegnando il valore di A, teoricamente uno potrebbe chiedersi come e' fatta la curva affinche' quell'integrale di linea restituisca A. Non capisco dunque i tuoi disegni di alcune superfici...
Il tuo problema e' quindi quello di trovare la curva. A occhio pero' mi sa tanto che ci siano molte curve che risolvono il problema.
Che dici?
Luca77
http://www.llussardi.it
Però, sei riuscito a fiutare la mia appartenenza all'ambiente dei fisici da come ho scritto un'equazione; ma il motivo per cui la mia srittura non risulta formalmente corretta non è solo da attribuire alla mia formazione, soprattutto direi che come avevo già accennato sono parecchio a digiuno di questa materia.
Ora, non ho capito bene cosa debbo fare per definire correttamente " dl ", tuttavia abbiamo ancora molto da fare per comprenderci correttamente, sempre che la tua pazienza non si esaurisca prima.
La curva forma della curva non può essere una variabile perché è fissata a priori.
Ora provo a fare una descrizione per passi:
- Scelgo una curva, nel caso più semplice è una retta.
(poniamoci ora nell'ottica di questo caso elementare)
- Prendo a caso un punto nello spazio R(x,y,z)
- Il mio integrale per una retta risolve così:
A = 2c / d Dove "d" è la distanza minima di "R" dalla retta "l"
***Inversione***
- Ora fisso "A" e libero "R"
- Quanti punti trovo che soddisfano la condizione A=2c/d ??
- Io Dico: Infiniti, tutti quelli cioé che insistono sulla circonferenza di raggio "d"
... Poi sono infinite anche le stesse circonferenze estese a tutto l'asse della retta.
... L'insieme di punti così trovati mi da dunque una superfice chiusa a mo' di cilindro attorno alla retta. Questo è il significato dell'ultima figura.
...come ti sembra?
Ora, non ho capito bene cosa debbo fare per definire correttamente " dl ", tuttavia abbiamo ancora molto da fare per comprenderci correttamente, sempre che la tua pazienza non si esaurisca prima.
La curva forma della curva non può essere una variabile perché è fissata a priori.
Ora provo a fare una descrizione per passi:
- Scelgo una curva, nel caso più semplice è una retta.
(poniamoci ora nell'ottica di questo caso elementare)
- Prendo a caso un punto nello spazio R(x,y,z)
- Il mio integrale per una retta risolve così:
A = 2c / d Dove "d" è la distanza minima di "R" dalla retta "l"
***Inversione***
- Ora fisso "A" e libero "R"
- Quanti punti trovo che soddisfano la condizione A=2c/d ??
- Io Dico: Infiniti, tutti quelli cioé che insistono sulla circonferenza di raggio "d"
... Poi sono infinite anche le stesse circonferenze estese a tutto l'asse della retta.
... L'insieme di punti così trovati mi da dunque una superfice chiusa a mo' di cilindro attorno alla retta. Questo è il significato dell'ultima figura.
...come ti sembra?
C'e' quel punto a caso dello spazio che non capisco: se l'integrale e' di linea, allora il vettore r dovrebbe essere la distanza tra un punto fissato P dello spazio e un punto a caso della curva.
Se non erro, la formula che dai e' la Legge di Biot-Savart per il calcolo del campo magnetico nel punto P, generato da un filo (la curva sostegno dell'integrale) percorso da corrente di intensita' costante nel tempo.
Luca77
http://www.llussardi.it
Se non erro, la formula che dai e' la Legge di Biot-Savart per il calcolo del campo magnetico nel punto P, generato da un filo (la curva sostegno dell'integrale) percorso da corrente di intensita' costante nel tempo.
Luca77
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E quindi, scusate se mi intrometto, proseguendo l'analogia elettromagntica, la superficie A che vorresti determinare sarebbe una suprficie di isopotenziale per l campo magnetico...
Più propiamente si tratta della prima formula di laplace sull'elettromagnetismo, c'è molta confusione (anche tra i fisici e soprattutto tra gli ingegneri) su queste attribuzioni, a biot e savart dobbiamo solamente l'applicazione dell'integrale al caso in cui la curva si trova ad essere esattamente una retta.
Sulla questione del punto mi sono espresso male o in modo non corretto, Il punto lo scelgo io anche arbitrariamente (come la forma della curva) ma una volta che l'ho scelto è certo che quel punto nella nostra equazione è fissato, invece rimane "a caso" il punto della curva a cui si riferisce il tratto orientato " r ".
Fa centro anche giovanni il chimico inquanto la superfice da me disegnata è proprio la rappresentazione della soluzione equipotenziale di un campo magnetico attorno ad una corrente elettrica che percorre la curva nel suo verso.
...io ci sto ancora pensando.. il primo che ci arriva batta un bit!
Sulla questione del punto mi sono espresso male o in modo non corretto, Il punto lo scelgo io anche arbitrariamente (come la forma della curva) ma una volta che l'ho scelto è certo che quel punto nella nostra equazione è fissato, invece rimane "a caso" il punto della curva a cui si riferisce il tratto orientato " r ".
Fa centro anche giovanni il chimico inquanto la superfice da me disegnata è proprio la rappresentazione della soluzione equipotenziale di un campo magnetico attorno ad una corrente elettrica che percorre la curva nel suo verso.
...io ci sto ancora pensando.. il primo che ci arriva batta un bit!
Ah ok, ora forse ho capito. Il vettore r e' il vettore (x-P), dove x e' il generico vettore della curva e P e' il punto in cui vuoi calcolare il campo magnetico. Allora tu chiedi, fissato il campo magnetico B nello spazio e fissato il filo percorso da una corrente di intensita' fissata, quale sia l'insieme dei punti P nei quali il campo magnetico vale B.
E' l'interpretazione corretta?
Luca77
http://www.llussardi.it
E' l'interpretazione corretta?
Luca77
http://www.llussardi.it
La tua interpretazione è molto corretta!
Io ho riassunto in " c " un prodotto di costanti tra cui la corrente (che fisso come costante). Tra l'altro, a seconda di come interpreto " c " e del significato che attribuisco alle grandezze e al loro prodotto (vettoriale o scalare) quella scrittura può travare anche altre applicazioni, ad esempio descrivendo il campo elettrico attorno ad un filo carico o un irraggiamento generato da fonte curvilinea, ecc...
Quella del campo magnetico in questo caso è l'interpretazione più appropriata, soprattutto per come ho sistemato i vettori.
Io ho riassunto in " c " un prodotto di costanti tra cui la corrente (che fisso come costante). Tra l'altro, a seconda di come interpreto " c " e del significato che attribuisco alle grandezze e al loro prodotto (vettoriale o scalare) quella scrittura può travare anche altre applicazioni, ad esempio descrivendo il campo elettrico attorno ad un filo carico o un irraggiamento generato da fonte curvilinea, ecc...
Quella del campo magnetico in questo caso è l'interpretazione più appropriata, soprattutto per come ho sistemato i vettori.
Ho fatto un po' di conti per bene, ma temo che non sia possibile esplicitare il punto, in funzione di tutto il resto. Tra l'altro non mi e' chiaro nemmeno che debba perforza venire una superficie. Infatti, dai miei conti, il punto P viene ad essere soluzione di un sistema in 3 equazioni (e ovviamente 3 variabili, le coordinate di P).
Luca77
http://www.llussardi.it
Luca77
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Non so esattamente quale significato attribuire ai tuoi risultati, ma forse anche se su strade diverse abbiamo incontrato lo stesso scoglio. Sto per eseguire qualche modello matematico al PC con il metodo degli elementi finiti, i miei risultati mi mettono dei dubbi! Voglio vederci più chiaro e poi ti farò sapere.
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