Problema con Integrale Generalizzato
Ciao a tutti 
ho un problema con questo integrale $\underline{\int } log(x+5)/(x^3+3x+2)$ (gli estremi sono da 1 a infinito non riesco a capire come si scrive)
Devo trovare la convergenza di questo integrale generalizzato... so che bisogna trovare il dominio ho provato a farlo e mi viene $ x!=-2 | x!= +- sqrt(-5) $ quindi il dominio è solo $x!=-2$ ora però non so cosa devo fare... mi potete dare una mano?
grazie in anticipo per l'aiuto
ho un problema con questo integrale $\underline{\int } log(x+5)/(x^3+3x+2)$ (gli estremi sono da 1 a infinito non riesco a capire come si scrive)Devo trovare la convergenza di questo integrale generalizzato... so che bisogna trovare il dominio ho provato a farlo e mi viene $ x!=-2 | x!= +- sqrt(-5) $ quindi il dominio è solo $x!=-2$ ora però non so cosa devo fare... mi potete dare una mano?
grazie in anticipo per l'aiuto
Risposte
be la funzione interganda dell'integrale
\begin{align}
\int_{1}^{+\infty}\frac{\ln (x+5)}{x^3+3x+2}
\end{align}
non ha un dominio di definizione di immediata verifica, nel senso che , d'accordo sul fatto che per l'esistenza del logaritmo, deve essere $x> -5,$ ma per il denominatore hai che $x^3+3x+2\ne0$ non è risolubile immeditamente, a meno di ricordarsi le formule di Cardano ...
In questo caso è conveniente usare il calolo differenziale: posto $g(x):=x^3+3x+2$ abbiamo che la $\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=\pm\infty$ e dallo studio della derivata prima ottieniamo che $g'(x)=3x^2+3$ che risulta sempre crescente e dunque sicuramente si annulla in un solo punto; poi osservando che per $x >0$ hai certamente che $x^3+3x > -2$ e dunque la funzione certamente non si annulla nell'intervallo di integrazione: allora l'integrale risulta improrio a $+\infty;$ infine essendo sempre positiva nell'intervallo di integrazione, possiamo considerare il comportamento asintotico; quando $x\to+\infty$ si ha
\begin{align}
\frac{\ln (x+5)}{x^3+3x+2}\sim \frac{\ln x}{x^3}=\frac{1}{x^3\ln^{-1}x}\to \mbox{converge}
\end{align}
\begin{align}
\int_{1}^{+\infty}\frac{\ln (x+5)}{x^3+3x+2}
\end{align}
non ha un dominio di definizione di immediata verifica, nel senso che , d'accordo sul fatto che per l'esistenza del logaritmo, deve essere $x> -5,$ ma per il denominatore hai che $x^3+3x+2\ne0$ non è risolubile immeditamente, a meno di ricordarsi le formule di Cardano ...
In questo caso è conveniente usare il calolo differenziale: posto $g(x):=x^3+3x+2$ abbiamo che la $\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=\pm\infty$ e dallo studio della derivata prima ottieniamo che $g'(x)=3x^2+3$ che risulta sempre crescente e dunque sicuramente si annulla in un solo punto; poi osservando che per $x >0$ hai certamente che $x^3+3x > -2$ e dunque la funzione certamente non si annulla nell'intervallo di integrazione: allora l'integrale risulta improrio a $+\infty;$ infine essendo sempre positiva nell'intervallo di integrazione, possiamo considerare il comportamento asintotico; quando $x\to+\infty$ si ha
\begin{align}
\frac{\ln (x+5)}{x^3+3x+2}\sim \frac{\ln x}{x^3}=\frac{1}{x^3\ln^{-1}x}\to \mbox{converge}
\end{align}
Ah quindi io devo prima vedere dove si annulla la funzione, se si annulla in tutti e due gli estremi allora devo fare il limite sia da una parte che dall'altra... altrimenti faccio il limite solo dell'estremo dove si annulla ed è finita?... pensavo fosse più difficile come cosa hehe... grazie mille noisemaker
Invece in un caso del genere $int (sen(x))/((x+1)^(3/2)-1)$ (tra 0 e inf)
Trovo il dominio come mi hai spiegato tu e vedo che $(x+1)^(3/2)-1!=0$ non lo so risolvere, faccio sempre il $lim x->∞$ $g(x)=∞$ e la derivata prima è $ g'(x)= 3sqrt(x+1)/2$ che è crescente anch'essa... quindi capisco che il dominio esclude un solo punto che in questo caso è $(x+1)^(3/2)!=1$ quindi ora divido l'integrale tra $0$ e $1$ e tra $1$ e $∞$ e ci faccio i limiti prima a $0$ e poi a $∞$ per vedere la convergenza?
Trovo il dominio come mi hai spiegato tu e vedo che $(x+1)^(3/2)-1!=0$ non lo so risolvere, faccio sempre il $lim x->∞$ $g(x)=∞$ e la derivata prima è $ g'(x)= 3sqrt(x+1)/2$ che è crescente anch'essa... quindi capisco che il dominio esclude un solo punto che in questo caso è $(x+1)^(3/2)!=1$ quindi ora divido l'integrale tra $0$ e $1$ e tra $1$ e $∞$ e ci faccio i limiti prima a $0$ e poi a $∞$ per vedere la convergenza?
ma .... come non sai risolvere $(x+1)^{3/2}-1\ne0$ ??
\[(x+1)^{3/2}-1\ne0 \Leftrightarrow (x+1)^{3/2} \ne1 \Leftrightarrow x+1 \ne1 \Leftrightarrow x \ne0;\]
quindi l'integrale
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{(x+1)^{3/2}-1}
\end{align}
risulta improprio in entrabi gli estremi di integrazione; in questo caso è necessario osservare che in un intorno di $+\infty,$ la funzione integranda non mantiene segno costante, in quanto la funzione seno, come sai, oscilla tra $\pm1;$ allora per poter applicare il confronto quando $x\to+\infty,$ dovremo considerare il valore assoluto della funzione integranda:
\begin{align}
x\to+\infty:\qquad \left|\frac{\sin x}{(x+1)^{3/2}-1}\right|=\frac{\left|\sin x\right|}{(x+1)^{3/2}-1}\le\frac{1}{ x ^{3/2}}\to\mbox{converge;}
\end{align}
per quanto riguarda il comportamento in un intorno dell'origine, il valore assoluto non è necessrio in quanto la funzione mantine segno costante: considerando allora il comportamento asintotico abbiamo che:
\begin{align}
x\to0^+:\qquad \frac{\sin x}{(x+1)^{3/2}-1} \sim\frac{ x}{3/2 x }=2/3\to\mbox{converge in quanto continua;}
\end{align}
a questo punto puoi concludere che l'integrale converge.
\[(x+1)^{3/2}-1\ne0 \Leftrightarrow (x+1)^{3/2} \ne1 \Leftrightarrow x+1 \ne1 \Leftrightarrow x \ne0;\]
quindi l'integrale
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{(x+1)^{3/2}-1}
\end{align}
risulta improprio in entrabi gli estremi di integrazione; in questo caso è necessario osservare che in un intorno di $+\infty,$ la funzione integranda non mantiene segno costante, in quanto la funzione seno, come sai, oscilla tra $\pm1;$ allora per poter applicare il confronto quando $x\to+\infty,$ dovremo considerare il valore assoluto della funzione integranda:
\begin{align}
x\to+\infty:\qquad \left|\frac{\sin x}{(x+1)^{3/2}-1}\right|=\frac{\left|\sin x\right|}{(x+1)^{3/2}-1}\le\frac{1}{ x ^{3/2}}\to\mbox{converge;}
\end{align}
per quanto riguarda il comportamento in un intorno dell'origine, il valore assoluto non è necessrio in quanto la funzione mantine segno costante: considerando allora il comportamento asintotico abbiamo che:
\begin{align}
x\to0^+:\qquad \frac{\sin x}{(x+1)^{3/2}-1} \sim\frac{ x}{3/2 x }=2/3\to\mbox{converge in quanto continua;}
\end{align}
a questo punto puoi concludere che l'integrale converge.
oddio che stupido... scusami mi sono svegliato da poco e c'ho capito poco hahah... comunque okok ci sto grazie
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