Problema con integrale doppio. Area negativa.
Allora abbiamo:
$\int_0^1 int_0^2 x^3 - y^2 dxdy$
Calcolando mi viene $\int_0^1 2x^3 - 8/3 dx$ cioè integrando ho $2*(x^4)/4 -8x/3$ in 0
Come è possibile? Non dovrebbe venire negativa, e non dovrei aver sbagliato i calcoli, dato che sono abbastanza elementari.
Dove sbaglio quindi?
$\int_0^1 int_0^2 x^3 - y^2 dxdy$
Calcolando mi viene $\int_0^1 2x^3 - 8/3 dx$ cioè integrando ho $2*(x^4)/4 -8x/3$ in 0
Come è possibile? Non dovrebbe venire negativa, e non dovrei aver sbagliato i calcoli, dato che sono abbastanza elementari.
Dove sbaglio quindi?
Risposte
Innanzitutto l'integrale doppio rappresenta un volume, non un'area.
Ma poi, perchè quel volume non potrebbe venire negativo?
Guarda che l'integrando non è sempre positivo in $[0,1]\times[0,2]$; anzi c'è una "larga" zona di negatività.
Ma poi, perchè quel volume non potrebbe venire negativo?
Guarda che l'integrando non è sempre positivo in $[0,1]\times[0,2]$; anzi c'è una "larga" zona di negatività.
@Gugo: volume si scusa, sono un po' fuso oggi 
Allora ero in un altra dimensione quando la prof mi ha detto che se viene un volume negativo, l'esercizio è sbagliato di sicuro?
Forse mi sono davvero confuso con l'area di un'integrale definito semplice. Qualcuno potrebbe confermare questa cosa?
Grazie ancora!
Allora ero in un altra dimensione quando la prof mi ha detto che se viene un volume negativo, l'esercizio è sbagliato di sicuro?
Forse mi sono davvero confuso con l'area di un'integrale definito semplice. Qualcuno potrebbe confermare questa cosa?
Grazie ancora!
Allora, quanto fa $\int_(-1)^0x" d"x$?
L'integrale è negativo, ma rappresenta un'area.
Allo stesso modo, l'integrale di una funzione di due variabili può essere anche negativo, pur rappresentando un volume.
Questo accade perchè, in qualche modo, l'integrale "tiene conto" del segno della funzione integranda: se, per assurdo, gli integrali fossero tutti positivi, allora anche $cosx=\int_0^x sin t" d"t$ dovrebbe essere sempre positivo per $x>0$... Questo però non succede (per fortuna!).
Il discorso cambia se ti viene chiesto di determinare l'area o il volume di una regione $D$ usando gli integrali: infatti in tal caso tu integri la funzione $1$ su tutto $D$ (infatti $"area"(D)=\int\int_D 1" d"x"d"y$; l'ultimo integrale lo puoi calcolare usando vari "trucchi", ma la sostanza non cambia) che è positiva, quindi l'integrale viene $>=0$ per il teorema di confronto:
$f<=g " in " D => \int_D f" d"x<=\int_D g" d"x$ (con $f=0$ e $g=1$, nel nostro caso).
L'integrale è negativo, ma rappresenta un'area.
Allo stesso modo, l'integrale di una funzione di due variabili può essere anche negativo, pur rappresentando un volume.
Questo accade perchè, in qualche modo, l'integrale "tiene conto" del segno della funzione integranda: se, per assurdo, gli integrali fossero tutti positivi, allora anche $cosx=\int_0^x sin t" d"t$ dovrebbe essere sempre positivo per $x>0$... Questo però non succede (per fortuna!
).Il discorso cambia se ti viene chiesto di determinare l'area o il volume di una regione $D$ usando gli integrali: infatti in tal caso tu integri la funzione $1$ su tutto $D$ (infatti $"area"(D)=\int\int_D 1" d"x"d"y$; l'ultimo integrale lo puoi calcolare usando vari "trucchi", ma la sostanza non cambia) che è positiva, quindi l'integrale viene $>=0$ per il teorema di confronto:
$f<=g " in " D => \int_D f" d"x<=\int_D g" d"x$ (con $f=0$ e $g=1$, nel nostro caso).
Riuppo il topic per chiedere un'informazione.
Supponendo di dover integrare la funzione invece che sul rettangolo, su di un triangolo di vertici A=(0;0), B=(0;2), C=(1;1).
Come procedo? Io non credo si possa supporre semplicemente che il triangolo dato è in realtà la metà del rettangolo [0;2]x[0;1], quindi calcolare l'integrale sul rettangolo e poi dividerlo in 2
Come procedo quindi in questo caso?
EDIT: risolto da solo!
Supponendo di dover integrare la funzione invece che sul rettangolo, su di un triangolo di vertici A=(0;0), B=(0;2), C=(1;1).
Come procedo? Io non credo si possa supporre semplicemente che il triangolo dato è in realtà la metà del rettangolo [0;2]x[0;1], quindi calcolare l'integrale sul rettangolo e poi dividerlo in 2
Come procedo quindi in questo caso?
EDIT: risolto da solo!
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