Problema con integrale di superficie
Salve a tutti, ho un problema con lo svolgimento di un tema d'esame.
Il testo dice:
A parte che faccio molta fatica a figurarmi visivamente il grafico,
Dunque le operazioni che svolgo sono.
1) Parametrizzo S $ (x,y,z=1-x-y) $
2) Calcolo vettore normale a S, dato dal prodotto scalare delle derivate parziali $ -fx^^ -fy = (1,1,1)$
3) Calcolo la Norma $ int int_(D) xy(1-x-y) || N(x,y)|| dx dy$ = $ = sqrt(fx^2+fy^2+1) = sqrt (3)$
4) L'integrale da calcolare diventa $ int int_(D) xy(1-x-y) || N(x,y)|| dx dy= $ ovvero $ int int_(D) xy-x^2y-xy^2) sqrt(3) dx dy= $
A questo punto io sono sempre stato abituato a passare tutto alle coordinate polari per rendere più facilmente calcolabile l'integrale, ma ponendo il consueto sistema $ { ( x=rho cos(t)),( y=rho sen(t)):} $ , vado in tilt perchè non riesco più a stabilire l'ordine di variazione della variabile t.
E mi viene il dubbio quindi di stare sbagliando qualcosa...
Qualcuno mi sa dare una mano a risolvere il dubbio e dunque l'esercizio?
Grazie in anticipo.
Il testo dice:
Calcolare l'integrale di superficie $ int_(S) xyz dsigma $ , dove S è la porzione di superficie $ z=f(x,y)=1-x-y $ che si proietta nel dominio $ D=(x,y):x >=0 ,0<=y<=1-x $
A parte che faccio molta fatica a figurarmi visivamente il grafico,
Dunque le operazioni che svolgo sono.
1) Parametrizzo S $ (x,y,z=1-x-y) $
2) Calcolo vettore normale a S, dato dal prodotto scalare delle derivate parziali $ -fx^^ -fy = (1,1,1)$
3) Calcolo la Norma $ int int_(D) xy(1-x-y) || N(x,y)|| dx dy$ = $ = sqrt(fx^2+fy^2+1) = sqrt (3)$
4) L'integrale da calcolare diventa $ int int_(D) xy(1-x-y) || N(x,y)|| dx dy= $ ovvero $ int int_(D) xy-x^2y-xy^2) sqrt(3) dx dy= $
A questo punto io sono sempre stato abituato a passare tutto alle coordinate polari per rendere più facilmente calcolabile l'integrale, ma ponendo il consueto sistema $ { ( x=rho cos(t)),( y=rho sen(t)):} $ , vado in tilt perchè non riesco più a stabilire l'ordine di variazione della variabile t.
E mi viene il dubbio quindi di stare sbagliando qualcosa...
Qualcuno mi sa dare una mano a risolvere il dubbio e dunque l'esercizio?
Grazie in anticipo.
Risposte
premetto che non ho controllato i calcoli precedenti,e che quindi risponderò solo al tuo dubbio
il dominio $D$ è un dominio normale rispetto all'asse $x$
tenendo conto del fatto che la retta $y=x-1$ interseca questo asse nel punto di ascissa $x=1$ devi ricondurti al calcolo dell'integrale $ int_(0)^(1) dx int_(0)^(1-x) f(x,y) dy $
il dominio $D$ è un dominio normale rispetto all'asse $x$
tenendo conto del fatto che la retta $y=x-1$ interseca questo asse nel punto di ascissa $x=1$ devi ricondurti al calcolo dell'integrale $ int_(0)^(1) dx int_(0)^(1-x) f(x,y) dy $
Quindi non devo passare alle coordinate polari, giusto?
E allora mi sfugge la ratio per cui alle volte devo passare alle coordinate polari ed altre mi devo limitare a rimanere nelle coordinate cartesiane.
Altro dubbio che mi sovviene, graficamente devo tener conto solo del "triangolo" che si proietta sul piano xy e che quindi avrà estremi (0,0), (0,1) e (1,0), giusto?
E allora mi sfugge la ratio per cui alle volte devo passare alle coordinate polari ed altre mi devo limitare a rimanere nelle coordinate cartesiane.
Altro dubbio che mi sovviene, graficamente devo tener conto solo del "triangolo" che si proietta sul piano xy e che quindi avrà estremi (0,0), (0,1) e (1,0), giusto?
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