Problema con integrale con i residui...

[Savonarola91]

Posto un integrale di cui mi è difficile capire un passaggio.
$int_(-oo)^(+oo) (x-sin(pi/2x))/(x^3-1)dx$
La funzione integranda presenta una discontinuità eliminabile nel punto x=1.
Alla scelta della funzione ausiliaria per la risoluzione dell integrale ho una difficoltà.Io avrei subito scelto la funzione
$f(z)=(z-e^(jpi/2z))/(z^3-1)$ mentre nelle soluzioni del mio testo vi è la seguente funzione ausiliaria per la risoluzione del suddetto esercizio:
$f(z)=(jz-e^(jpi/2z))/(z^3-1)$.Qualcuno sa spiegarmi il perchè? e in particolare la presenza di quella j vicino alla z? Grazie in anticipo.

[Sk_Anonymous]

Considerando la funzione da te proposta per $[z=x in RR]$:

$[f(z)=(z-e^(jpi/2z))/(z^3-1)] rarr [f(x)=(x-e^(jpi/2x))/(x^3-1)] rarr [f(x)=(x-cos(pi/2x)-jsen(pi/2x))/(x^3-1)] rarr$

$rarr [f(x)=(x-cos(pi/2x))/(x^3-1)+j(-sen(pi/2x))/(x^3-1)]$

la funzione integranda non rappresenta nè la parte reale, nè la parte immaginaria. Viceversa, considerando la funzione proposta dal testo per $[z=x in RR]$:

$[f(z)=(jz-e^(jpi/2z))/(z^3-1)] rarr [f(x)=(jx-e^(jpi/2x))/(x^3-1)] rarr [f(x)=(jx-cos(pi/2x)-jsen(pi/2x))/(x^3-1)] rarr$

$rarr [f(x)=(-cos(pi/2x)+j(x-sen(pi/2x)))/(x^3-1)] rarr [f(x)=(-cos(pi/2x))/(x^3-1)+j(x-sen(pi/2x))/(x^3-1)]$

la funzione integranda rappresenta la parte immaginaria.