Problema con integrale avente come estremo d'incognita x

[ifiore93]

Buonasera,
data la funzione $F(X)=int_(-1)^(x) e^(-t^2) (t^2-1)$
dimostrare che :
1) l'insieme F([-1,1]) è limitato;
2)l'insieme F(R) è limitato;
3)l'equazione $x^3+3+int_(-1)^(x) e^(-t^2) (t^2-1)$ ha almeno una soluzione

Scusate ma non riesco proprio a capire come si risolve tale esercizio.
Ho provato a risolvere l'integrale e integrando per parti ottengo $sqrt(pi) (t^2+3)-int_(-1)^(x) sqrt(pi) (2t) dt$ quindi $sqrt(pi) t^2+sqrt(pi) 3-x^2 sqrt(pi)-sqrt(pi)$
In questo modo mi è rimasta un'incognita t.Dove ho sbagliato?

Spero in vostro aiuto

[gugo82]

L'integrale non si risolve "a mano", quindi lascia perdere.

Per risolvere l'esercizio, hai mai sentito parlare di funzione integrale?
Se sì, dove? Che proprietà ha una tale funzione?

[ifiore93]

La funzione integrale $F(x)=int_(x0)^(x) f(x) dx$
dove $x0$ appartenente a R e f continua nell'intervallo [a,b].
Le proprietà:
$F'(x)=f(x)$ la funzione è continua e derivabile e la sua derivata è uguale all'integranda.
$F(a)=int_(x0)^(x0) f(x) dx=0$
Nel caso in cui abbiamo come estremo di un integrale una funzione:
$F(x)=int_(x)^(g(x)) f(x) dx$ ,o viceversa,
la derivata di tale funzione è uguale alla derivata della composta cioè:$F'(x)=f(g(x)) g'(x)$

[ifiore93]

Scusami ho pensato di agire in tale modo:
per sapere se è limitata si può fare il limite della funzione per x che tende agli estremi dell'intervallo?
$lim(x->-1)int_(-1)^(x)e^(-t^2)(t^2-1)=0$per la proprietà.
$lim(x->1)int_(-1)^(x)e^(-t^2)(t^2-1)$??
Mentre per sapere se la funzione è limitata in$F(R)$ faccio il limite per x che tende a +/- inf?

[gugo82]

Eccomi... Evocato rispondo.
Scusa, ma avevo dimenticato questo thread.

Ad ogni modo, dato che l'integrando \(f\) è definito e continuo in \(\mathbb{R}\), la funzione integrale di punto iniziale \(-1\) definita da \(F(x):=\int_{-1}^x f(t)\ \text{d} t\) è una funzione continua e derivabile con continuità in tutto \(\mathbb{R}\) (per il TFCI).

1) Dato che \([-1,1]\) è un intervallo compatto e dato che \(F\) è continua, puoi invocare il teorema di Weierstrass ed asserire che\(F\) è limitata in \([-1,1]\), il che equivale a dire che \(F([-1,1])\) è limitato.
[Però puoi addirittura dire di più, cioé che \(F([-1,1])\) è un intervalo compatto.]

2) Dato che \(\mathbb{R}\) non è compatto, non possiamo usare il teorema di Weierstrass per stabilire se \(F(\mathbb{R})\) è limitato o no; quindi muoviamoci in un'altra direzione.
Visto che \(f\) è infinitesimo in \(\pm \infty\) d'ordine infinitamente elevato, l'integrando è sommabile in \([-1,\infty[\) ed in \(]-\infty ,-1]\); conseguentemente esistono finiti ambo i limiti \(\lim_{x\to \pm \infty} F(x)\) e si ha:
\[
\lim_{x\to \pm \infty} F(x) = \begin{cases} \int_{-1}^\infty f(t)\ \text{d} t &\text{, se } x\to +\infty\\
-\int_{-\infty}^{-1} f(t)\ \text{d} t &\text{, se } x\to -\infty\; .
\end{cases}
\]
Dal TFCI segue che \(F^\prime (x) = e^{-x^2}\ (x^2-1)\) e perciò si ha \(F^\prime (x)\geq 0\) solo se \(|x|\leq 1\); quindi \(F\) decresce strettamente in \([-1,1]\) e cresce in \(]-\infty ,-1]\) ed in \([1,\infty[\).
Conseguentemente:
\[
\inf F(\mathbb{R}) = \inf_{x\in \mathbb{R}} F(x) =\min \left\{ \lim_{x\to -\infty} F(x),\ F(1)\right\}= \min \left\{ -\int_{-\infty}^{-1} f(t)\ \text{d} t, \int_{-1}^1 f(t)\ \text{d} t\right\} >-\infty
\]
e:
\[
\sup F(\mathbb{R}) = \sup_{x\in \mathbb{R}} F(x) =\max \left\{ \lim_{x\to \infty} F(x),\ F(-1)\right\}= \max \left\{ \int_{-1}^\infty f(t)\ \text{d} t, 0\right\} <\infty
\]
sicché \(F(\mathbb{R})\) è limitato.

3) Dato che la funzione \(G(x):=x^3+3+F(x)\) è continua ed ha:
\[
\lim_{x\to \pm \infty} G(x) =\pm \infty\; ,
\]
per il teorema dei valori intermedi esiste certamente un \(\xi\in \mathbb{R}\) tale che \(G(\xi)=0\).

Che te ne pare?

[ifiore93]

Da quale pianeta "sbarchi"??!!

[ifiore93]

Scusami ma al secondo punto dopo che hai dimostrato che i limiti sono finiti potevi già concludere che $F(R)$ è limitato?

[gugo82]

"Freezix":Da quale pianeta "sbarchi"??!!

Napoli?...

"Freezix":Scusami ma al secondo punto dopo che hai dimostrato che i limiti sono finiti potevi già concludere che $ F(R) $ è limitato?

Certo.
Ma ti ho voluto pure dire chi erano gli estremi dell'insieme \(F(\mathbb{R})\), per rimediare al ritardo.

[ifiore93]

Ultima domanda:
nel terzo punto che intervallo devo prendere in considerazione per far valere il teorema dei valori intermedi.L'enunciato ci dice che la funzione deve essere continua in $[a,b]$ e $xi in [a,b]$ tale che $f(xi)=0$.Giusto?

[gugo82]

Beh, ma puoi usare un corollario che funziona pure sugli intervalli non compatti:

Siano \(a
Se \(\displaystyle \liminf_{x\to a^+} f(x)\) e \(\displaystyle \limsup_{x\to b^-} f(x)\) hanno segni opposti, allora esiste almeno uno \(\xi \in ]a,b[\) tale che \(f(\xi)=0\).

In particolare, la stessa conclusione vale nel caso meno generale in cui esistono \(\displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x)\) e \(\displaystyle \lim_{x\to b^-} f(x)\) ed hanno segni opposti.

[ifiore93]

Grazie mille.