Problema con integrale
Salve a tutti, non riesco proprio a capire la penultima uguaglianza, sono abbastanza convinto che dietro non ci sia un motivo legato alla teoria della materia, ma piuttosto è una questione di analisi che mi sfugge, nel caso serva si parla di angolo solido e di intensità luminosa. Grazie a tutti in anticipo.
Risposte
Ciao RedEyes,
Beh, l'areola $dA $ sulla superficie della semisfera (visto che si integra sull'angolo solido $2\pi $, altrimenti sarebbe stato $4\pi $) è data da
$ dA = (r sin\alpha d\phi) \cdot (r d\alpha) = r^2 sin\alpha d\alpha d\phi \implies d\omega = frac{dA}{r^2} = sin\alpha d\alpha d\phi $
Perciò si ha:
$ \phi = int_{0}^{pi/2} int_{0}^{2 pi} I_n cos\alpha sin\alpha d\phi d\alpha = int_{0}^{pi/2} I_n cos\alpha sin\alpha(int_{0}^{2 pi} d\phi) d\alpha = int_{0}^{pi/2} 2\pi I_n sin\alpha cos\alpha d\alpha = $
$ = pi I_n int_{0}^{pi/2} 2 sin\alpha cos\alpha d\alpha = pi I_n [sin^2 alpha]_0^{pi/2} = pi I_n $
Beh, l'areola $dA $ sulla superficie della semisfera (visto che si integra sull'angolo solido $2\pi $, altrimenti sarebbe stato $4\pi $) è data da
$ dA = (r sin\alpha d\phi) \cdot (r d\alpha) = r^2 sin\alpha d\alpha d\phi \implies d\omega = frac{dA}{r^2} = sin\alpha d\alpha d\phi $
Perciò si ha:
$ \phi = int_{0}^{pi/2} int_{0}^{2 pi} I_n cos\alpha sin\alpha d\phi d\alpha = int_{0}^{pi/2} I_n cos\alpha sin\alpha(int_{0}^{2 pi} d\phi) d\alpha = int_{0}^{pi/2} 2\pi I_n sin\alpha cos\alpha d\alpha = $
$ = pi I_n int_{0}^{pi/2} 2 sin\alpha cos\alpha d\alpha = pi I_n [sin^2 alpha]_0^{pi/2} = pi I_n $
Grazie pilloeffe, ho capito il tuo metodo per arrivare al risultato finale, ma il metodo che è illustrato nella slide com è fatto? Nel senso, come fa a scomparire quel $ Cos\alpha $ e a comparire negli estremi di integrazione quel $ \pi r^2 $ ? Ti ringrazio ancora per la tua disponibilità.
"RedEyes":
Grazie pilloeffe
Prego
"RedEyes":
ma il metodo che è illustrato nella slide com'è fatto? Nel senso, come fa a scomparire quel $ cos\alpha $ e a comparire negli estremi di integrazione quel $\pi r^2 $ ?
Ti dirò che penso di averlo capito, ma dal punto di vista formale il metodo che è illustrato nella slide non è che mi entusiasmi...
Diciamo che l'idea è che l'angolo solido attraverso il quale l'areola $dA_T $ sulla superficie piana di terra in basso in nero nel disegno che hai riportato (al centro della quale possiamo immaginare una sorgente puntiforme $S$) "vede" l'areola $ dA $ sulla superficie della semisfera (al centro della quale possiamo pensare un punto $P$), dipende da $ cos\alpha $, e l'intensità luminosa su $P $ è massima quando la radiazione incide normalmente sulla superficie (cioè quando $ cos\alpha = cos 0 = 1 $).
Quindi è chiaro che l'integrale sull'angolo solido $2 \pi $, che copre tutta la semisfera, corrisponde sulla superficie piana di terra all'integrale di $dA_T $ per la variabile che parte da $0 $ e si estende fino all'area del cerchio sul quale insiste la semisfera, che vale proprio $\pi r^2 $.
Chiarissimo, complimenti 
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