Problema con il segno della derivata seconda
Salve,
Siccome devo studiare questa funzione:
[tex]$f(x) = \begin{cases} e^{x}-(1/e) & x\le -1 \\
\sqrt{1-x^2} & -1
andando a fare la derivata seconda, ovvero:
[tex]$f''(x) = \begin{cases} e^x & x<-1 \\
\frac{x^{2}+x-1}{(1-x^2)\sqrt {1-x^2}} & -1 1 \end{cases}$[/tex]
(Ho escluso -1 e 1 in quanto la funzione in quei punti non risulta derivabile)
Mi accorgo che:
$\forall x\in (-\infty, -1)\Rightarrow f$''$(x)>0$ e che $\forall x\in (1,+\infty)\Rightarrow f$''$(x)>0$
Il problema sta con $(-1,1)$ perchè mi risultano che le radici che annullano il numeratore sono $x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ ed $x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ . Ora, da quello che mi ricordo delle disequazioni
$f$''$(x)>0$ risulta verificata per valori esterni alle due radici, ossia, per $x>x_2$ e per $x
il problema è che $x_1<-1$ e $x_2<1$ quindi che dovrei fare? (*)
Commetto degli errori con queste affermazioni?
(*)EDIT:Scusate ho commesso un errore:
La domanda era: "devo scrivere che la derivata seconda risulta positiva per $x\in (x_2, +\infty)$ e negativa per $x\in (-1, x_2)$ semplicemente?
Siccome devo studiare questa funzione:
[tex]$f(x) = \begin{cases} e^{x}-(1/e) & x\le -1 \\
\sqrt{1-x^2} & -1
andando a fare la derivata seconda, ovvero:
[tex]$f''(x) = \begin{cases} e^x & x<-1 \\
\frac{x^{2}+x-1}{(1-x^2)\sqrt {1-x^2}} & -1
(Ho escluso -1 e 1 in quanto la funzione in quei punti non risulta derivabile)
Mi accorgo che:
$\forall x\in (-\infty, -1)\Rightarrow f$''$(x)>0$ e che $\forall x\in (1,+\infty)\Rightarrow f$''$(x)>0$
Il problema sta con $(-1,1)$ perchè mi risultano che le radici che annullano il numeratore sono $x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ ed $x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ . Ora, da quello che mi ricordo delle disequazioni
$f$''$(x)>0$ risulta verificata per valori esterni alle due radici, ossia, per $x>x_2$ e per $x
il problema è che $x_1<-1$ e $x_2<1$ quindi che dovrei fare? (*)
Commetto degli errori con queste affermazioni?
(*)EDIT:Scusate ho commesso un errore:
La domanda era: "devo scrivere che la derivata seconda risulta positiva per $x\in (x_2, +\infty)$ e negativa per $x\in (-1, x_2)$ semplicemente?
Risposte
da una rapida analisi mi pare che il risultato sia che la derivata seconda (se l'hai calcolata bene) è negativa per $x in (-1,(sqrt(5)-1)/2)$
e positiva altrove, dove definita.
e positiva altrove, dove definita.
Cioè quello che ho scritto io, no?
Sei sicuro che la derivata della funzione valutata tra $-1$ e $1$ sia quella che te hai scritto?
Allora, $D \sqrt{1-x^{2}}=D(1-x^2)^{1/2}=(1/2)(1-x^2)^{(1/2)-1}(-2x)$ No?
Non ti parlo della derivata prima ma della derivata seconda. Rifletti.
Hai ragione. Avevo sbagliato i conti: la derivata seconda è $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
EDIT: per cui la derivata seconda in $(-1, 1)$ risulta sempre negativa.
EDIT: per cui la derivata seconda in $(-1, 1)$ risulta sempre negativa.
Ora, mi sorge un dubbio riguardante l'interpretazione dei teoremi sui flessi e sui massimi e minimi relativi; nel senso che siccome ho visto che $f(x)$ non è derivabile nei punti $-1$ e $1$ e siccome risulta che la derivata PRIMA è positiva $\forall x\in (-\infty, -1)\cup (-1, 0)\cup (1,+\infty)$ e negativa in $(0, 1)$ ho capito che $x=0$ è un punto di massimo relativo....ma potrei dire che $x=1$ è un punto di minimo relativo? Lo chiedo perchè leggendo il teorema:
"Sia $I$ un intervallo aperto ed $f$ definita su $I$ (con valori in $\mathbb{R}$) ivi continua e derivabile su $I-{x_0}$ (in cui penso che $x_0$ possa essere $1$). Se $\exists \delta :\ (x_0-\delta, x_0+\delta)\subset I$ e se riesce che:
$f'(x)<0\ \forall x\in (x_0-\delta, x_0)$ ed $f'(x)>0\ \forall x\in (x_0, x_0+\delta)$ allora $f$ ha un minimo relativo in $x_0$"
Mentre, vedendo che la derivata SECONDA è positiva $\forall x\in (-\infty, -1)\cup (1, +\infty)$ e negativa $\forall x\in (-1, 1)$ ho un pò di confusione coi requisiti del teorema relativo alla concavità, convessità e i flessi:
"Sia $I$ un intervallo aperto ed $f:I\to \mathbb{R}$ ed $x_0\in I$. Se $f$ è dotata di derivate fino ad ordine $n-1$ (con $n\ge 2$) in $I$ e di derivata di ordine $n$ in $x_0$ , risulta....."
qui $x=-1$ ed $x=1$ non hanno nemmeno la derivata di ordine 1 nell'insieme di definizione di $f$ per cui....posso parlare ugualmente di concavità, convessità e flessi ???
"Sia $I$ un intervallo aperto ed $f$ definita su $I$ (con valori in $\mathbb{R}$) ivi continua e derivabile su $I-{x_0}$ (in cui penso che $x_0$ possa essere $1$). Se $\exists \delta :\ (x_0-\delta, x_0+\delta)\subset I$ e se riesce che:
$f'(x)<0\ \forall x\in (x_0-\delta, x_0)$ ed $f'(x)>0\ \forall x\in (x_0, x_0+\delta)$ allora $f$ ha un minimo relativo in $x_0$"
Mentre, vedendo che la derivata SECONDA è positiva $\forall x\in (-\infty, -1)\cup (1, +\infty)$ e negativa $\forall x\in (-1, 1)$ ho un pò di confusione coi requisiti del teorema relativo alla concavità, convessità e i flessi:
"Sia $I$ un intervallo aperto ed $f:I\to \mathbb{R}$ ed $x_0\in I$. Se $f$ è dotata di derivate fino ad ordine $n-1$ (con $n\ge 2$) in $I$ e di derivata di ordine $n$ in $x_0$ , risulta....."
qui $x=-1$ ed $x=1$ non hanno nemmeno la derivata di ordine 1 nell'insieme di definizione di $f$ per cui....posso parlare ugualmente di concavità, convessità e flessi ???
Riformulo la domanda, in quanto credo di esser stato poco chiaro a porla:
Ho alcuni dubbi sull'utilizzo del calcolo differenziale per l'individuazione dei punti di massimo e minimo relativi, della concavità e della convessità e dei flessi quando sia hanno condizioni di non derivabilità in alcuni punti.
1)Cominciamo con i massimi e minimi relativi. Leggendo il teorema sull'individuazione dei massimi e minimi relativi che recita:
Ora, mi chiedo....data la funzione che ho postato all'inizio, ossia:
[tex]$f(x) = \begin{cases} e^{x}-(1/e) & x\le -1 \\
\sqrt{1-x^2} & -1
che non è derivabile nei punti $-1$ ed $1$ , e che presenta
$f'(x)>0\ \forall x\in (-\infty, -1)\cup (-1, 0)\cup (1, +\infty)$ e che $f'(x)<0\ \forall x\in (0, 1)$
Mi domando se $x=0$ ed $x=1$ si possono considerare rispettivamente punto di massimo e punto di minimo relativi.
2) Per quanto riguarda la convessità, concavità e flessi, il teorema che ho trovato è questo:
sempre nella mia funzione ho trovato che $\forall x\in (-\infty, -1)\cup (1,+\infty),\ f$''$(x)>0$ ; e che $\forall x\in (-1, 1),\ f$''$(x)<0$
Allora qui la mia domanda è: dato che la funzione non ha neanche la derivata PRIMA in $-1$ e $1$ automaticamente tali punti, per l'apposito teorema, non possono essere punti di flesso, giusto?
Spero di essere stato chiaro stavolta.
Ho alcuni dubbi sull'utilizzo del calcolo differenziale per l'individuazione dei punti di massimo e minimo relativi, della concavità e della convessità e dei flessi quando sia hanno condizioni di non derivabilità in alcuni punti.
1)Cominciamo con i massimi e minimi relativi. Leggendo il teorema sull'individuazione dei massimi e minimi relativi che recita:
"Sia $I$ un intervallo aperto ed $f$ definita su $I$ (con valori in $\mathbb{R}$) ivi continua e derivabile su $I-{x_0}$. Se $\exists \delta :\ (x_0-\delta, x_0+\delta)\subset I$ e se riesce che:
$f'(x)<0\ \forall x\in (x_0-\delta, x_0)$ ed $f'(x)>0\ \forall x\in (x_0, x_0+\delta)$ allora $f$ ha un minimo relativo in $x_0$"
Ora, mi chiedo....data la funzione che ho postato all'inizio, ossia:
[tex]$f(x) = \begin{cases} e^{x}-(1/e) & x\le -1 \\
\sqrt{1-x^2} & -1
che non è derivabile nei punti $-1$ ed $1$ , e che presenta
$f'(x)>0\ \forall x\in (-\infty, -1)\cup (-1, 0)\cup (1, +\infty)$ e che $f'(x)<0\ \forall x\in (0, 1)$
Mi domando se $x=0$ ed $x=1$ si possono considerare rispettivamente punto di massimo e punto di minimo relativi.
2) Per quanto riguarda la convessità, concavità e flessi, il teorema che ho trovato è questo:
"Sia $I$ un intervallo aperto ed $f:I\to \mathbb{R}$ ed $x_0\in I$. Se $f$ è dotata di derivate fino ad ordine $n-1$ (con $n\ge 2$) in $I$ e di derivata di ordine $n$ in $x_0$ , risulta:
[tex]f''(x_0)=f'''(x_0)=...=f^{(n-1)}(x_0)=0[/tex] ed [tex]f^{(n)}\ne 0[/tex] se $n>2$ oppure [tex]f''(x_0)\ne 0[/tex] se $n=2$ , allora
i)Se [tex]n[/tex] è pari ed [tex]f^{(n)}(x_0)>0[/tex] , la funzione è convessa in [tex]x_0[/tex]
ii)Se [tex]n[/tex] è pari ed [tex]f^{(n)}(x_0)<0[/tex], la funzione è concava in [tex]x_0[/tex]
iii)Se [tex]n[/tex] è dispari, la funzione ha un flesso in [tex]x_0[/tex]
sempre nella mia funzione ho trovato che $\forall x\in (-\infty, -1)\cup (1,+\infty),\ f$''$(x)>0$ ; e che $\forall x\in (-1, 1),\ f$''$(x)<0$
Allora qui la mia domanda è: dato che la funzione non ha neanche la derivata PRIMA in $-1$ e $1$ automaticamente tali punti, per l'apposito teorema, non possono essere punti di flesso, giusto?
Spero di essere stato chiaro stavolta.
"Orlok":
Mi domando se $x=0$ ed $x=1$ si possono considerare rispettivamente punto di massimo e punto di minimo relativi.
ma certo che sì, lo sono.
"Orlok":
dato che la funzione non ha neanche la derivata PRIMA in $-1$ e $1$ automaticamente tali punti, per l'apposito teorema, non possono essere punti di flesso, giusto?
mah.. in quei punti la funzione cambia concavità, prima di $-1$ è convessa poi è concava, e in $1$ il contrario, quindi è vero che sono punti in cui la funzione cambia la concavità.
certo lì non esistono le derivate, il cambio di concavità non avviene in maniera continua ma brusca, quindi se vuoi in questo senso puoi anche dire che non sono dei veri flessi.
"blackbishop13":
mah.. in quei punti la funzione cambia concavità, prima di $-1$ è convessa poi è concava, e in $1$ il contrario, quindi è vero che sono punti in cui la funzione cambia la concavità.
certo lì non esistono le derivate, il cambio di concavità non avviene in maniera continua ma brusca, quindi se vuoi in questo senso puoi anche dire che non sono dei veri flessi.
Non capisco. Cosa intendi per "non avviene in maniera continua ma brusca" ? Di solito il cambio di concavità o convessità com'è?
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