Problema con il calcolo di una somma di una serie di Fourier
Salve,
il mio problema di fondo è che non so proprio come si faccia e non trovo nulla che me lo spieghi.
Il quesito è il seguente:
Data la funzione $f(x)$, periodica di periodo $\pi$, definita da $f(x)=x^2$ con $x\in[0,\pi)$ dire qual'è la somma della serie di Fourier di $f(x)$ nel punto $x=\frac{3}{2}\pi$ e nel punto $x=2\pi$.
I tentativi che ho fatto mi hanno portato in alto mare, e non penso che sia così difficile risolverlo. Fatto sta che non ci riesco, dal momento che non so come si procede.
L'idea che ho è quella di calcolarmi i coefficienti di Fourier $a_k$ e $b_k$, per poi utilizzare l'Uguaglianza di Parseval e ricavarmi il valore esatto.
Il primo problema è che per calcolare i coefficienti mi viene un casino:
$a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2 cos(kx) dx$
Calcolandolo con un programma apposito sul PC mi viene qualcosa di assurdo, quasi intrattabile (se necessario lo posto anche).
Inoltre il mio problema è anche questo: se devo calcolare la somma in quei due punti, come faccio, dal momento che la sommatoria seguente va da 1 a infinito?
$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k cos(kx) + b_k sin(kx))$
Suggerimenti?
EDIT: Ancora ci sto lavorando sopra, ed ho fatto una prova:
Ho provato a sostituire subito il valore di x.
$a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{9}{4}\pi^2 cos(\frac{3}{2}k\pi) dx = \frac{9}{2}\pi^2 cos(\frac{3}{2}k\pi)$
Analogamente per $b_k$:
$b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{9}{4}\pi^2 sin(\frac{3}{2}k\pi) dx = \frac{9}{2}\pi^2 sin(\frac{3}{2}k\pi)$
Ma ora?
il mio problema di fondo è che non so proprio come si faccia e non trovo nulla che me lo spieghi.
Il quesito è il seguente:
Data la funzione $f(x)$, periodica di periodo $\pi$, definita da $f(x)=x^2$ con $x\in[0,\pi)$ dire qual'è la somma della serie di Fourier di $f(x)$ nel punto $x=\frac{3}{2}\pi$ e nel punto $x=2\pi$.
I tentativi che ho fatto mi hanno portato in alto mare, e non penso che sia così difficile risolverlo. Fatto sta che non ci riesco, dal momento che non so come si procede.
L'idea che ho è quella di calcolarmi i coefficienti di Fourier $a_k$ e $b_k$, per poi utilizzare l'Uguaglianza di Parseval e ricavarmi il valore esatto.
Il primo problema è che per calcolare i coefficienti mi viene un casino:
$a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2 cos(kx) dx$
Calcolandolo con un programma apposito sul PC mi viene qualcosa di assurdo, quasi intrattabile (se necessario lo posto anche).
Inoltre il mio problema è anche questo: se devo calcolare la somma in quei due punti, come faccio, dal momento che la sommatoria seguente va da 1 a infinito?
$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k cos(kx) + b_k sin(kx))$
Suggerimenti?
EDIT: Ancora ci sto lavorando sopra, ed ho fatto una prova:
Ho provato a sostituire subito il valore di x.
$a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{9}{4}\pi^2 cos(\frac{3}{2}k\pi) dx = \frac{9}{2}\pi^2 cos(\frac{3}{2}k\pi)$
Analogamente per $b_k$:
$b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{9}{4}\pi^2 sin(\frac{3}{2}k\pi) dx = \frac{9}{2}\pi^2 sin(\frac{3}{2}k\pi)$
Ma ora?
Risposte
Se hai studiato la teoria, sai che non serve fare tutti questi calcoli.
I problemi di convergenza puntuale per le serie di Fourier vanno (quasi) sempre affrontati ricordando le condizioni di Dirichlet e ciò che esse implicano.
I problemi di convergenza puntuale per le serie di Fourier vanno (quasi) sempre affrontati ricordando le condizioni di Dirichlet e ciò che esse implicano.
E' la prima volta che sento parlare di condizioni di Dirichlet (non sono nemmeno in programma), eppure la teoria l'ho studiata.
Quindi non penso che si debba risolvere tale esercizio usando tali condizioni.
Grazie comunque!!!
Quindi non penso che si debba risolvere tale esercizio usando tali condizioni.
Grazie comunque!!!
Mi pare strano che non abbiate studiato il più classico dei risultati sulla convergenza puntuale delle s.d.F.
Te lo riporto, può darsi che lo conosci sotto altro nome.
Le a, b) sono dette condizioni di Dirichlet.
Evidentemente la s.d.F. di $f$, nelle ipotesi del teorema, converge in $RR$ ad una funzione periodica di periodo $2pi$ e la sua somma, in ogni intervallo del tipo $]-pi+2kpi,pi+2kpi[$ ($k\in ZZ$), riproduce il grafico della somma in $]-pi,pi[$.
Pertanto se vuoi calcolare il valore della somma della s.d.F. in un punto $c\in RR$ non appartenente a $]-pi,pi[$ devi "riportarlo" in $]-pi,pi[$ determinando un valore di $k\in ZZ$ tale che $c-2kpi \in ]-pi,pi[$; devi verificare se $c-2kpi$ è un punto di continuità o di discontinuità di $f$; ed infine, a seconda dei casi, la somma della s.d.F. in $c$ è uguale a $f(c-2kpi)$ oppure a $1/2[f((c-2kpi)^+)+f((c-2kpi)^-)]$.
Se non vuoi applicare questo risultato, allora ti auguro buona fortuna e ti consiglio di usare tutte le tue abilità di calcolo: ne avrai bisogno.
Te lo riporto, può darsi che lo conosci sotto altro nome.
Siano $f:]-pi,pi[\to RR$.
Se:
a) $f$ è generalmente continua e generalmente derivabile in $]-pi,pi[$;
b) se $f'$ è generalmente continua in $]-pi,pi[$ ed ha sole discontinuità di prima specie;
allora $f$ presenta sole discontinuità di prima specie in $]-pi,pi[$ e la serie di Fourier di $f$ converge:
I) ad $f(x)$ in ogni punto $x$ in cui $f$ è continua;
II) ad $1/2[f(x^+)-f(x^-)]$ (cioè al punto medio tra i due valori limite di $f$ a sinistra ed a destra di $x$) in ogni punto $x$ in cui $f$ presenta discontinuità.
La convergenza della s.d.F. è uniforme in ogni intervallo di $]-pi,pi[$ non contenente alcun punto di discontinuità di $f$.
Le a, b) sono dette condizioni di Dirichlet.
Evidentemente la s.d.F. di $f$, nelle ipotesi del teorema, converge in $RR$ ad una funzione periodica di periodo $2pi$ e la sua somma, in ogni intervallo del tipo $]-pi+2kpi,pi+2kpi[$ ($k\in ZZ$), riproduce il grafico della somma in $]-pi,pi[$.
Pertanto se vuoi calcolare il valore della somma della s.d.F. in un punto $c\in RR$ non appartenente a $]-pi,pi[$ devi "riportarlo" in $]-pi,pi[$ determinando un valore di $k\in ZZ$ tale che $c-2kpi \in ]-pi,pi[$; devi verificare se $c-2kpi$ è un punto di continuità o di discontinuità di $f$; ed infine, a seconda dei casi, la somma della s.d.F. in $c$ è uguale a $f(c-2kpi)$ oppure a $1/2[f((c-2kpi)^+)+f((c-2kpi)^-)]$.
Se non vuoi applicare questo risultato, allora ti auguro buona fortuna e ti consiglio di usare tutte le tue abilità di calcolo: ne avrai bisogno.
Dunque, effettivamente sulle dispense/libro che ho io non è riportato il nome di Dirichlet.
Però, in base a quanto mi hai detto ho ritrovato quanto segue:
Teorema sulla convergenza puntuale della serie di Fourier
Sia $f$ una funzione $2\pi$-periodica e regolare a tratti in $RR$. Allora per ogni $x\in RR$ la serie di Fourier di $f$ converge a:
$\frac{f(x_+)+f(x_-)}{2}$,
cioè alla media tra il limite destro e sinistro in $x$. In particolare converge a $f(x)$ nei punti di continuità.
Teorema sulla convergenza totale della serie di Fourier
Sia $f$ una funzione $2\pi$-periodica, continua e regolare a tratti in $RR$. Allora la serie di Fourier di $f$ converge totalmente in $RR$ (e quindi uniformemente) alla funzione $f$.
Anche avendo studiato questi teoremi non saprei applicarli per risolvere quell'esercizio.
Potresti aiutarmi a capire come fare? Anche se me l'hai detto, a parole, non ho capito praticamente come si fa.
Grazie per il supporto.
Però, in base a quanto mi hai detto ho ritrovato quanto segue:
Teorema sulla convergenza puntuale della serie di Fourier
Sia $f$ una funzione $2\pi$-periodica e regolare a tratti in $RR$. Allora per ogni $x\in RR$ la serie di Fourier di $f$ converge a:
$\frac{f(x_+)+f(x_-)}{2}$,
cioè alla media tra il limite destro e sinistro in $x$. In particolare converge a $f(x)$ nei punti di continuità.
Teorema sulla convergenza totale della serie di Fourier
Sia $f$ una funzione $2\pi$-periodica, continua e regolare a tratti in $RR$. Allora la serie di Fourier di $f$ converge totalmente in $RR$ (e quindi uniformemente) alla funzione $f$.
Anche avendo studiato questi teoremi non saprei applicarli per risolvere quell'esercizio.
Potresti aiutarmi a capire come fare? Anche se me l'hai detto, a parole, non ho capito praticamente come si fa.
Grazie per il supporto.
Salve di nuovo.
Allora, mi sono impegnato nel cercare di capire come applicare quel teorema, ma ancora qualcosa non torna.
Il teorema sulla convergenza puntuale che ho riportato parla di funzioni $2\pi$-periodiche. Già questo mi incasina le idee, infatti il testo dell'esercizio
mi da un intervallo $[0,\pi)$ e dice che la funzione è periodica di un periodo $\pi$.
Allora, primo caso (chiede la somma in $x=\frac{3}{2}\pi$):
$f(x_+)=f(x_-)=\frac{9}{4}\pi^2$ dal momento che per tale $x$ la funzione è continua, la somma dovrebbe valere proprio $f(\frac{3}{2}\pi)=\frac{9}{4}\pi$ (limite sinistro e destro coincidono).
Secondo caso (chiede la somma in $x=2\pi$):
$f(x_+)=0$ e $f(x_-)=4\pi^2$ quindi:
$S=\frac{1}{2}(0+4\pi^2)=2\pi^2$
Entrambi i risultati sono diversi dalle soluzioni proposte.
Dove ho sbagliato ora?
EDIT:Dunque, ho provato a fare un'altro esercizio di questo tipo, e questa volta viene.
Comincio a sospettare che il risultato dato è sbagliato, infatti, per quanto riguarda il secondo esercizio, torna tutto.
Il secondo esercizio è il seguente:
Data la funzione $f(x)$ , periodica di periodo 2, definita da $f(x)=x+1$ $x\in[0,2)$, dire qual'è la somma della serie di Fourier di $f(x)$ nei punti $x=4$ e $x=4.5$.
Ho rifatto lo stesso ragionamento di prima e per quanto riguarda $x=4$:
$f(x_+)=1$
$f(x_-)=3$
$S=\frac{1+3}{2}=2$
Per quanto riguarda $x=4.5$ invece, lì mi "riporto indietro" nell'intervallo dov'è definita la funzione e vedo che è continua, quindi $f(4.5)=\frac{3}{2}$ che è corretto rispetto alle soluzioni.
Allora, mi sono impegnato nel cercare di capire come applicare quel teorema, ma ancora qualcosa non torna.
Il teorema sulla convergenza puntuale che ho riportato parla di funzioni $2\pi$-periodiche. Già questo mi incasina le idee, infatti il testo dell'esercizio
mi da un intervallo $[0,\pi)$ e dice che la funzione è periodica di un periodo $\pi$.
Allora, primo caso (chiede la somma in $x=\frac{3}{2}\pi$):
$f(x_+)=f(x_-)=\frac{9}{4}\pi^2$ dal momento che per tale $x$ la funzione è continua, la somma dovrebbe valere proprio $f(\frac{3}{2}\pi)=\frac{9}{4}\pi$ (limite sinistro e destro coincidono).
Secondo caso (chiede la somma in $x=2\pi$):
$f(x_+)=0$ e $f(x_-)=4\pi^2$ quindi:
$S=\frac{1}{2}(0+4\pi^2)=2\pi^2$
Entrambi i risultati sono diversi dalle soluzioni proposte.
Dove ho sbagliato ora?
EDIT:Dunque, ho provato a fare un'altro esercizio di questo tipo, e questa volta viene.
Comincio a sospettare che il risultato dato è sbagliato, infatti, per quanto riguarda il secondo esercizio, torna tutto.
Il secondo esercizio è il seguente:
Data la funzione $f(x)$ , periodica di periodo 2, definita da $f(x)=x+1$ $x\in[0,2)$, dire qual'è la somma della serie di Fourier di $f(x)$ nei punti $x=4$ e $x=4.5$.
Ho rifatto lo stesso ragionamento di prima e per quanto riguarda $x=4$:
$f(x_+)=1$
$f(x_-)=3$
$S=\frac{1+3}{2}=2$
Per quanto riguarda $x=4.5$ invece, lì mi "riporto indietro" nell'intervallo dov'è definita la funzione e vedo che è continua, quindi $f(4.5)=\frac{3}{2}$ che è corretto rispetto alle soluzioni.
Il problema della periodicità non si pone... Voglio dire che è facile rendersi conto che una funzione periodica di periodo $T$ è pure periodica di periodo $kT$ con $k\in NN$; pertanto la tua $f$ è sicuramente periodica di periodo $2pi$ e puoi applicare tranquillamente il risultato di convergenza puntuale che abbiamo detto.
Il problema è trovare l'espressione analitica di $f$ nell'intervallo $[-pi,pi[$, ma ciò è più facile di quanto si possa credere, dato che basta fare un disegnino*:
[asvg]xmin=-3.14;
xmax=3.14;
ymin=0;
ymax=3.14^2;
axes();
plot("(x+3.14)^2/10",-3.14,0);
plot("x^2/10",0,3.14);[/asvg]
per capire che la funzione $f$ ristretta a $[-pi,pi[$ è definita come segue:
$f(x):=\{((x+pi)^2, " se " -pi <= x < 0),(x^2, " se " 0<= x < pi) :}$
Quindi, come detto in precedenza, tutto sta nel "riportare" nell'intervallo base $[-pi,pi[$ il punto $x_1=3/2 pi$ e controllare se nel punto "riportato" la $f$ è continua o discontinua.
Nel nostro caso basta sottrarre $ 2 pi$ a $ 3/2 pi$ per trovare $x_1^** =-pi/2 \in [-pi,pi[$; visto che $f$ è continua in $x_1^**$ ed assume valore $f(x_1^** ) = (-pi/2+pi)^2 = (pi/2)^2 = pi^2/4$, la somma della serie di Fourier di $f$ in $x_1$ è proprio $pi^2/4$.
Il discorso è del tutto analogo per il punto $x_2 = 2 pi$: infatti si trova $x_2^** = 0$ (basta sottrarre $ 2pi$); il punto $ 0 $ è di discontinuità per $ f $ e risulta:
$f((x_2^**)_+)=0 \quad$ e $\quad f((x_2^**)_-)=(0+pi)^2=pi^2$
quindi la somma della s.d.F. di $f$ in $x_2$ è pari a $ 1/2 [f((x_2^**)_+)+f((x_2^**)_(-))]=pi^2/2$.
__________
* Per motivi di spazio, ho dovuto restringere i valori di $f$; spero questo non ti crei fastidio.
Il problema è trovare l'espressione analitica di $f$ nell'intervallo $[-pi,pi[$, ma ciò è più facile di quanto si possa credere, dato che basta fare un disegnino*:
[asvg]xmin=-3.14;
xmax=3.14;
ymin=0;
ymax=3.14^2;
axes();
plot("(x+3.14)^2/10",-3.14,0);
plot("x^2/10",0,3.14);[/asvg]
per capire che la funzione $f$ ristretta a $[-pi,pi[$ è definita come segue:
$f(x):=\{((x+pi)^2, " se " -pi <= x < 0),(x^2, " se " 0<= x < pi) :}$
Quindi, come detto in precedenza, tutto sta nel "riportare" nell'intervallo base $[-pi,pi[$ il punto $x_1=3/2 pi$ e controllare se nel punto "riportato" la $f$ è continua o discontinua.
Nel nostro caso basta sottrarre $ 2 pi$ a $ 3/2 pi$ per trovare $x_1^** =-pi/2 \in [-pi,pi[$; visto che $f$ è continua in $x_1^**$ ed assume valore $f(x_1^** ) = (-pi/2+pi)^2 = (pi/2)^2 = pi^2/4$, la somma della serie di Fourier di $f$ in $x_1$ è proprio $pi^2/4$.
Il discorso è del tutto analogo per il punto $x_2 = 2 pi$: infatti si trova $x_2^** = 0$ (basta sottrarre $ 2pi$); il punto $ 0 $ è di discontinuità per $ f $ e risulta:
$f((x_2^**)_+)=0 \quad$ e $\quad f((x_2^**)_-)=(0+pi)^2=pi^2$
quindi la somma della s.d.F. di $f$ in $x_2$ è pari a $ 1/2 [f((x_2^**)_+)+f((x_2^**)_(-))]=pi^2/2$.
__________
* Per motivi di spazio, ho dovuto restringere i valori di $f$; spero questo non ti crei fastidio.
Perfetto! Grazie mille, ora grazie a te ho capito perfettamente come si risolve questo tipo di esercizio.
Ti sono molto grato.
Ti sono molto grato.
Prego, figurati.
P.S.: Visto il disegnino?
P.S.: Visto il disegnino?
Sì sì! 
molto bello!!!
Comunque la funzione è definita solo per $x \in [0,\pi)$. E' giusto una sottigliezza però volevo precisare!
molto bello!!! Comunque la funzione è definita solo per $x \in [0,\pi)$. E' giusto una sottigliezza però volevo precisare!
La funzione è periodica di periodo $pi$ e, per determinarla completamente, ti basta assegnarla solo su un intervallo di ampiezza $pi$ (ad esempio $[0,pi[$, ma anche $[\sqrt(2),\sqrt(2)+pi[$ sarebbe andato benissimo).
Ovviamente, sta a te ricavare l'espressione analitica di $f$ in intervalli diversi da $[0,pi[$.
Ovviamente, sta a te ricavare l'espressione analitica di $f$ in intervalli diversi da $[0,pi[$.
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