Problema con i tassi correlati

[Anto0071]

Ciao a tutti, stavo facendo degli esercizi dal mio libro sulle derivate, quando incontro questo tipo di problema: "Il raggio di un cerchio varia con un tasso di $ -2/pi m/s $ . Qual'è il tasso di variazione dell'area del cerchio nel momento in cui $ r=10 m $ ?"
Bene, seguendo l'esercizio di esempio ho fatto così:
ho la variazione del raggio: $ (dr)/(dt)=-2/pi m/s $ e l'area del cerchio: $ A=pir^2 $ , mi manca $ (dA)/(dt) $
quindi
$ (dA)/dt=(dA)/(dr)*(dr)/(dt) $
$ =2pir*(dr)/(dt) $
$ =2pir*(-2/pi) m/s = -4r m/s $
adesso sostituisco $ r=10 $ m al risultato precedente ottenendo:
$ (dA)/(dt)= -4*10= -40m^2/s $
il procedimento e i calcoli sono corretti?
grazie a tutti

[pilloeffe]

Ciao Anto007,

Mi pare corretto, a parte che ti sei dimenticato i $m$ quando hai sostituito $r = 10 m $, che poi è ciò che fa venire fuori l'unità di misura finale corretta $m^2/s $
Se posso darti un consiglio, in questo tipo di problemi una volta che ci si sia accertati di trovarsi nel sistema MKS eviterei di inserire le unità di misura perché non fanno altro che confondere complicando alla vista la situazione...

[Anto0071]

Ti ringrazio per la risposta e per i consigli!! Volevo sapere se avevo impostato bene le relazioni tra le variabili, perchè ho un problema analogo nel quale non riesco mettere in relazione le variabili e quindi a differenziare rispetto a $ t $ . Posso continuare a chiedere qui o apro un'altra discussione?

[pilloeffe]

Prego!
Diciamo che se il nuovo problema è coerente col titolo del thread secondo me puoi continuare qui, se invece è qualcosa di significativamente diverso aprirei un'altra discussione...

[Anto0071]

L'argomento è uguale, sto eseguendo tutti gli esercizi in ordine, per poter avere il più ampio range di situazioni possibili risolte!! il testo del problema dice:
"Se due resistori di resistenza $ R_1 $ $ ohm $ e $ R_2 $ $ ohm $ vengono collegati in parallelo in un circuito elettrico a dare un resistore di resistenza $ R $ $ ohm $, il valore di $ R $ è dato dall'equazione $ 1/R=1/R_1+1/R_2 $ .
Se $ R_1 $ diminuisce con un tasso di $ 1 $ $ (ohm)/s $ e $ R_2 $ aumenta con un tasso di $ 0,5 $ $ (ohm)/s $, qual è il tasso di variazione di $ R $ nel momento in cui $ R_1=75 $ $ ohm $ e $ R_2=50 $ $ ohm $ ?
Qualche aiuto su come cominciare??

[pilloeffe]

Comincerei col considerare $R = R(t) $ e $R_i = R_i(t) $, $i = 1, 2 $ e poi deriverei rispetto a $t$ la relazione che hai scritto, che si può anche scrivere equivalentemente nella forma $ R = (R_1 R_2)/(R_1 + R_2) $

[Anto0071]

Ecco la mia difficoltà, non riesco a capire come impostare le derivate nell'equazione $ R=(R_1R_2)/(R_1+R_2) $

[pilloeffe]

Beh, non vedo difficoltà, è la derivata del rapporto di due funzioni:

$ ("d"R)/("d"t) = [(("d"R_1)/("d"t) R_2 + ("d"R_2)/("d"t) R_1)(R_1 + R_2) - (("d"R_1)/("d"t) + ("d"R_2)/("d"t))R_1 R_2]/(R_1 + R_2)^2 $

[Anto0071]

Oddio che scema!!! Mi sono persa in un bicchiere d'acqua!! Grazie di

[Anto0071]

bene, sostituendo i valori noti e tenendo conto che $ (dR_1)/(dt)= -1 $ $(ohm)/s $ , poichè diminusce il tasso di variazione ottengo:
$ (dR)/(dt)= ([(-1*50)+(0.5*75)*(75+50)]-[(-1+0.5)*(75*50)])/(75+50)^2 $
$ =(312.5)/15625=0,02 $
corretto?

[pilloeffe]

Anche a me risulta così, ma prima di sostituire i valori avrei semplificato il numeratore:

$ ("d"R)/("d"t) = [(("d"R_1)/("d"t) R_2 + ("d"R_2)/("d"t) R_1)(R_1 + R_2) - (("d"R_1)/("d"t) + ("d"R_2)/("d"t))R_1 R_2]/(R_1 + R_2)^2 = $
$ = [("d"R_1)/("d"t) R_1 R_2 + ("d"R_1)/("d"t) R_2^2 + ("d"R_2)/("d"t) R_1^2 + ("d"R_2)/("d"t) R_1R_2 - ("d"R_1)/("d"t) R_1 R_2 - ("d"R_2)/("d"t)R_1 R_2]/(R_1 + R_2)^2 = $
$ = [("d"R_1)/("d"t) R_2^2 + ("d"R_2)/("d"t) R_1^2]/(R_1 + R_2)^2 $

A questo punto introducendo i dati forniti dal testo del problema si ha:

$ ("d"R)/("d"t) = [- 1 (50)^2 + 0,5 (75)^2]/(75 + 50)^2 = [- 2500 + 2812,5]/(125)^2 = (312,5)/15625 = 0,02 \ (ohm)/s $

[Anto0071]

Gentilissimo, grazie ancora