Problema con gradiente,differenziabilità.
Ragazzi ho ancora un problema con un esercizio:
F(x,y)=$|x|log(1+y)$
Data la funzione, stabilire il dominio X della funzione gradiente di F e stabilire se F è differenziabile in X.
Io ho operato cosi:
F(x,y)=$xlog(1+y)$ se x>0.
Ho calcolato il grdiente.
Dx=$log(1+y)$
Dy=$x/(1+y)$
$nablaF=log(1+y) i+x/(1+y) j$,
mentre per x<0
F(x,y)=$-xlog(1+y)$
Dx=$-log(1+y)$
Dy=$-x/(1+y)$
$nablaF=-log(1+y)i-x/(1+y)j$
Da qui ho dedotto che in ogni caso il dominio di $nablaF$ è: $X=(x,y)inRR^2:y>-1$.
Ma per la differenziabilità?che cosa devo fare?
F(x,y)=$|x|log(1+y)$
Data la funzione, stabilire il dominio X della funzione gradiente di F e stabilire se F è differenziabile in X.
Io ho operato cosi:
F(x,y)=$xlog(1+y)$ se x>0.
Ho calcolato il grdiente.
Dx=$log(1+y)$
Dy=$x/(1+y)$
$nablaF=log(1+y) i+x/(1+y) j$,
mentre per x<0
F(x,y)=$-xlog(1+y)$
Dx=$-log(1+y)$
Dy=$-x/(1+y)$
$nablaF=-log(1+y)i-x/(1+y)j$
Da qui ho dedotto che in ogni caso il dominio di $nablaF$ è: $X=(x,y)inRR^2:y>-1$.
Ma per la differenziabilità?che cosa devo fare?
Risposte
per definizione, una funzione è differenziabile in [tex]r_0[/tex] se:
[tex]lim_{r->r_0} \frac{f(r) - f(r_0) - \nabla f(r_0)(r-r_0)}{||r-r_0||} = 0[/tex]
r è il vettore delle coordinate. cioè se lavori in R^2: r = (x, y). in R^3, r = (x, y, z)
r con pedice 0 è chiaramente lo stesso vettore con coordinate con pedice 0
la definizione COMPLETA richiede chiaramente che esista il gradiente e che f abbia derivate continue almeno in un intorno in cui "dovrebbe essere" differenziabile.
altri testi chiedono che nella definizione ci sia anche la norma del numeratore. ma da quel che ho capito, le due definizioni sono equivalenti.
devi calcolare quel limite insomma per rispondere alla richiesta
[tex]lim_{r->r_0} \frac{f(r) - f(r_0) - \nabla f(r_0)(r-r_0)}{||r-r_0||} = 0[/tex]
r è il vettore delle coordinate. cioè se lavori in R^2: r = (x, y). in R^3, r = (x, y, z)
r con pedice 0 è chiaramente lo stesso vettore con coordinate con pedice 0
la definizione COMPLETA richiede chiaramente che esista il gradiente e che f abbia derivate continue almeno in un intorno in cui "dovrebbe essere" differenziabile.
altri testi chiedono che nella definizione ci sia anche la norma del numeratore. ma da quel che ho capito, le due definizioni sono equivalenti.
devi calcolare quel limite insomma per rispondere alla richiesta
Scusami ma non credo di seguirti, nel mio coso con r che devo indicare?
come ho scritto: r = (x,y) se lavori in R^2.
tu stai lavorando in R^2, quindi laddove io ho scritto r, tu devi scrivere (x,y)
tu stai lavorando in R^2, quindi laddove io ho scritto r, tu devi scrivere (x,y)
e r0=?
"Ziel van brand":
la definizione COMPLETA richiede chiaramente che esista il gradiente e che f abbia derivate continue almeno in un intorno in cui "dovrebbe essere" differenziabile.
altri testi chiedono che nella definizione ci sia anche la norma del numeratore. ma da quel che ho capito, le due definizioni sono equivalenti.
Qualche osservazione:
- è vero che, affinché una funzione sia differenziabile in un punto, è necessario che esista il gradiente in quel punto. Tuttavia, si può dare una def che prescinde (apparentemente...) da questa richiesta preliminare: basta richiedere che l'incremento di $f$ sia ben approssimabile (nel senso del limite che hai scritto) da una funzione lineare (poi si scoprirà che se una tale funzione lineare esiste, essa è individuata dal gradiente)
- NON si richiede NULLA sulla continuità delle derivate parziali. Attenzione, mi sembra che tu stia facendo confusione fra la def e un classico teorema che dà condizioni sufficienti di differenziabilità
- hai ragione: metterci o no la norma a numeratore non fa nessuna differenza
ma quindi in parole povere, come faccio per vedere se è differenziabile in X?
"Fioravante Patrone":
[quote="Ziel van brand"]la definizione COMPLETA richiede chiaramente che esista il gradiente e che f abbia derivate continue almeno in un intorno in cui "dovrebbe essere" differenziabile.
altri testi chiedono che nella definizione ci sia anche la norma del numeratore. ma da quel che ho capito, le due definizioni sono equivalenti.
Qualche osservazione:
- è vero che, affinché una funzione sia differenziabile in un punto, è necessario che esista il gradiente in quel punto. Tuttavia, si può dare una def che prescinde (apparentemente...) da questa richiesta preliminare: basta richiedere che l'incremento di $f$ sia ben approssimabile (nel senso del limite che hai scritto) da una funzione lineare (poi si scoprirà che se una tale funzione lineare esiste, essa è individuata dal gradiente)
- NON si richiede NULLA sulla continuità delle derivate parziali. Attenzione, mi sembra che tu stia facendo confusione fra la def e un classico teorema che dà condizioni sufficienti di differenziabilità
- hai ragione: metterci o no la norma a numeratore non fa nessuna differenza[/quote]
1- vero
in effetti il mio insegnante ha dato la definizione che, al posto del gradiente, vede un operatore lineare generico. e poi ha dimostrato (dimostrazione frammetaria, condensata e insignificante così com'è scritta o.o 1 riga sola per intenderci) che tale operatore è il gradiente.
2- pardon, ce l'ho messo di mia iniziativa perchè ho pensato alla definizione come a due limiti separati che devono essere uguali affinchè f sia differenziabile (il primo limite con solo f(r) e f(r0), l'altro limite con grad(f) (r-r0). entrambi con al denominatore la norma che ho scritto prima).
"MILITO1991":
ma quindi in parole povere, come faccio per vedere se è differenziabile in X?
r0 = (x0, y0)
semplicemente calcoli il limite e devi verificare che sia 0
mi puoi fare l esempio sull esercizio che ho postato perchè non ci sto a capi più niente...
ok allora...
la tua f è:
[tex]F(x,y) = |x|ln(1+y)[/tex]
hai trovato che il dominio di esistenza del gradiente è y > -1.
quindi:
[tex]X = {(x,y) : y > -1}[/tex]
ora devi valutare se questa funzione è differenziabile in X. questo significa che deve essere:
[tex]\forall (x_0,y_0) \in X; lim_{(x,y)->(x_0,y_0)} \frac{f((x,y)) - f((x_0,y_0)) - \nabla f((x_0,y_0)((x,y)-(x_0,y_0))}{||(x,y)-(x_0, y_0)||} = 0[/tex]
detto in parole: scrivi il limite mettendoci dentro la funzione che hai e devi valutare se questo limite è 0 per OGNI punto di X. cioè il limite deve tendere a 0 con [tex](x_0, y_0)[/tex] ARBITRARI (che stanno in X).
ti prego non farmi scrivere pure il limite con esattamente la funzione che hai tu nell'esercizio >.<
mi stanca latex :\
la tua f è:
[tex]F(x,y) = |x|ln(1+y)[/tex]
hai trovato che il dominio di esistenza del gradiente è y > -1.
quindi:
[tex]X = {(x,y) : y > -1}[/tex]
ora devi valutare se questa funzione è differenziabile in X. questo significa che deve essere:
[tex]\forall (x_0,y_0) \in X; lim_{(x,y)->(x_0,y_0)} \frac{f((x,y)) - f((x_0,y_0)) - \nabla f((x_0,y_0)((x,y)-(x_0,y_0))}{||(x,y)-(x_0, y_0)||} = 0[/tex]
detto in parole: scrivi il limite mettendoci dentro la funzione che hai e devi valutare se questo limite è 0 per OGNI punto di X. cioè il limite deve tendere a 0 con [tex](x_0, y_0)[/tex] ARBITRARI (che stanno in X).
ti prego non farmi scrivere pure il limite con esattamente la funzione che hai tu nell'esercizio >.<
mi stanca latex :\
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