Problema con gli integrali impropri
Ciao a tutti! E' da pochi giorni terminato il corso di analisi matematica 1 e mentre studiavo per vedere grosso modo su quali argomenti devo approfondire e che mi sono poco chiari, mi sono imbattuto negli integrali impropri.. Io uso come libro "Analisi Matematica 1" bramanti-Salsa, eppure anche li non è che mi sono chiarito le idee.. Il mio problema è nel determinare la convergenza o la divergenza degli integrali senza doverli calcolare esplicitamente.
Ad esempio:
$\int_{0}^{2} 1/((x^2+2)*sqrt(sin(x/2))dx$
(non riesco a scrivere per bene comunque al numeratore c è solo 1)
il problema è in zero ad esempio; poichè io so che per $x->0$ $sin(x/2)$ è $\sim$ a $x/2$
il mio integrale diventa
$\int_{0}^{2}1/((x^2+2)*sqrt((x/2))dx$
a questo punto non so come continuare.. Ho chiesto agli esercitatori ma mi hanno detto che a +$\infty$ dovrei considerare solo le potenze maggiori mentre a -$oo$ o a $0$ quelle minori.. sinceramente a me questo tipo di discorso non convince del tutto.. Qualcuno può chiarirmi le idee? e poi se il problema del mio integrale è in un punto $!=$ a $0$ o a $oo$ come faccio? con i limiti notevoli cerco sempre di approssimare le funzioni $ln$ o $sin$ o $cos$ ma poi come procedo? spero di aver esposto il mio dubbio in maniera chiara..
Ad esempio:
$\int_{0}^{2} 1/((x^2+2)*sqrt(sin(x/2))dx$
(non riesco a scrivere per bene comunque al numeratore c è solo 1)
il problema è in zero ad esempio; poichè io so che per $x->0$ $sin(x/2)$ è $\sim$ a $x/2$
il mio integrale diventa
$\int_{0}^{2}1/((x^2+2)*sqrt((x/2))dx$
a questo punto non so come continuare.. Ho chiesto agli esercitatori ma mi hanno detto che a +$\infty$ dovrei considerare solo le potenze maggiori mentre a -$oo$ o a $0$ quelle minori.. sinceramente a me questo tipo di discorso non convince del tutto.. Qualcuno può chiarirmi le idee? e poi se il problema del mio integrale è in un punto $!=$ a $0$ o a $oo$ come faccio? con i limiti notevoli cerco sempre di approssimare le funzioni $ln$ o $sin$ o $cos$ ma poi come procedo? spero di aver esposto il mio dubbio in maniera chiara..
Risposte
$1/((x^2+2)*\sqrt(x/2)) \sim 1/x^(1/2)$ per $x->0$
E poi allora $int_0 ^2 1/x^(1/2) dx$ secondo te converge o diverge?
Eri sulla strada giusta, direi.
EDIT: Corretto.
E poi allora $int_0 ^2 1/x^(1/2) dx$ secondo te converge o diverge?
Eri sulla strada giusta, direi.
EDIT: Corretto.
grazie amel, direi che visto che $(3/2)$ è $>$ di $1$ converge:) però mi sorge un dubbio, a zero prendo per il confronto asintotico comunque l'incognita con il grado maggiore??
vorrei farti un'altra domanda, e mi scuso già da ora per il modo rozzo in cui la pongo, ma mi serve per capire, perché con il confronto asintotico ho grossi problemi e cercando nel web ho visto degli esercizi svolti e mi sono fatto questa idea..
allora se io ho in generale
$\int_{a}^{b} f(x) dx$
supponendo che $a$ e $b$ $notin$ al dominio io allora potrei spezzare l'integrale in due parti:
$\int_{a}^{k} f(x) dx$ e $\int_{k}^{b} f(x) dx$
a questo punto se $a$ ad esempio è un numero sostituisco il suo valore nella funzione al posto di ogni incognita, tranne laddove mi si crea problemi per l annullamento del denominatore giusto?
Poi se $b$ è +$oo$ per il confronto prendo le potenze dell'incognita di grado maggiore mentre se ad esempio $a$ è zero, prendo quelle di grado minore giusto?
Scusate se ho detto idiozie, vi prego correggetemi oppure ditemi come poter essere più preciso e magari anche più sicuro di quello che faccio..
vorrei farti un'altra domanda, e mi scuso già da ora per il modo rozzo in cui la pongo, ma mi serve per capire, perché con il confronto asintotico ho grossi problemi e cercando nel web ho visto degli esercizi svolti e mi sono fatto questa idea..
allora se io ho in generale
$\int_{a}^{b} f(x) dx$
supponendo che $a$ e $b$ $notin$ al dominio io allora potrei spezzare l'integrale in due parti:
$\int_{a}^{k} f(x) dx$ e $\int_{k}^{b} f(x) dx$
a questo punto se $a$ ad esempio è un numero sostituisco il suo valore nella funzione al posto di ogni incognita, tranne laddove mi si crea problemi per l annullamento del denominatore giusto?
Poi se $b$ è +$oo$ per il confronto prendo le potenze dell'incognita di grado maggiore mentre se ad esempio $a$ è zero, prendo quelle di grado minore giusto?
Scusate se ho detto idiozie, vi prego correggetemi oppure ditemi come poter essere più preciso e magari anche più sicuro di quello che faccio..
allora ne ho provai a fare altri due, potete dirmi se procedo correttamente?
allora il primo è:
$\int_{3}^{e^2} (1/((x-2)*sqrt(ln(x-2))) dx$
il mio problema è il 3.
ho pensato che dovevo ricondurmi a:
$lim_(x->0)(ln(x+1)/x)$
partendo da
$lim_(x->3)(ln(x-2)/(x-3))$ quindi ho operato un cambio di variabile, aggiunto e tolto 1 all'argomento del logaritmo e ho ottenuto che:
$lim_(t->0)(ln(1+t)/t$
quindi $ln(x-2)$ $\sim$ $x-3$
mi riscrivo l integrale che diventa:
$\int_{3}^{e^2} (1/((x-2)*sqrt((x-3))) dx
poichè il problema è in un 3 posso per il criterio del confronto asintotico approssimare la mia funzione (sostituendo il 3 all'incognita dove non mi crea problemi) a:
$\int_{3}^{e^2} (1/(sqrt(x-3)) dx
già qui potrei dire visto che ho $x^(1/2)$ che il mio integrale diverge, però voglio procedere per vie analitiche; passando prima all'integrale indefinito lo integro per potenza, passando poi al limite ho:
$lim_(b->3^+)((2/(sqrt(b-3))-(2/(sqrt(e^2-3)))$ che diverge.. è giusto?
l altro invece era più semplice(almeno credo):
$\int_{0}^{oo} dx/((e^3x)+(e^x))$
il problema è a +$oo$ quindi tramite confronto asintotico so che il carattere di quest'integrale è lo stesso di:
$\int_{0}^{oo} dx/((e^x))$
che converge..
ho sbagliato qualcosa?
allora il primo è:
$\int_{3}^{e^2} (1/((x-2)*sqrt(ln(x-2))) dx$
il mio problema è il 3.
ho pensato che dovevo ricondurmi a:
$lim_(x->0)(ln(x+1)/x)$
partendo da
$lim_(x->3)(ln(x-2)/(x-3))$ quindi ho operato un cambio di variabile, aggiunto e tolto 1 all'argomento del logaritmo e ho ottenuto che:
$lim_(t->0)(ln(1+t)/t$
quindi $ln(x-2)$ $\sim$ $x-3$
mi riscrivo l integrale che diventa:
$\int_{3}^{e^2} (1/((x-2)*sqrt((x-3))) dx
poichè il problema è in un 3 posso per il criterio del confronto asintotico approssimare la mia funzione (sostituendo il 3 all'incognita dove non mi crea problemi) a:
$\int_{3}^{e^2} (1/(sqrt(x-3)) dx
già qui potrei dire visto che ho $x^(1/2)$ che il mio integrale diverge, però voglio procedere per vie analitiche; passando prima all'integrale indefinito lo integro per potenza, passando poi al limite ho:
$lim_(b->3^+)((2/(sqrt(b-3))-(2/(sqrt(e^2-3)))$ che diverge.. è giusto?
l altro invece era più semplice(almeno credo):
$\int_{0}^{oo} dx/((e^3x)+(e^x))$
il problema è a +$oo$ quindi tramite confronto asintotico so che il carattere di quest'integrale è lo stesso di:
$\int_{0}^{oo} dx/((e^x))$
che converge..
ho sbagliato qualcosa?
"amel":
$1/((x^2+2)*\sqrt(x/2)) \sim 1/x^(3/2)$ per $x->0$
E poi allora $int_0 ^2 1/x^(3/2) dx$ secondo te converge o diverge?
Eri sulla strada giusta, direi.
Per $ x rarr 0 $ la funzione integranda è asintotica a $1/(sqrt(2)*x^(1/2)) $ e quindi converge , in quanto $(1/2) < 1 $.
Oddio come ho fatto a scrivere una cosa del genere? 
Chiedo scusa a tutti.
Chiedo scusa a tutti.
grazie della correzione 
secondo voi gli altri sono giusti? e le regole che ho intuito per determinare i confronti asintotici sono giuste?
secondo voi gli altri sono giusti? e le regole che ho intuito per determinare i confronti asintotici sono giuste?
Mi sembra tutto giusto tranne la conclusione del primo dei due esercizi, in cui l'integrale dovrebbe convergere.
Ma a questo punto la mia credibilità è $o(1)$ per che $x$ che tende ovunque...
Ma a questo punto la mia credibilità è $o(1)$ per che $x$ che tende ovunque...
dai non ti preoccupare capita a tutti di sbagliare 
e di preciso perchè dovrebbe convergere? cosa hpo sbagliato?
grazie mi avete dato una grossa mano! quindi posso usare quella strategia per il confronto asintotico no? lo so che posso risultare seccante, ma è da 1 settimana che mi sto documentando:)
e di preciso perchè dovrebbe convergere? cosa hpo sbagliato?
grazie mi avete dato una grossa mano! quindi posso usare quella strategia per il confronto asintotico no? lo so che posso risultare seccante, ma è da 1 settimana che mi sto documentando:)
Anzichè questo
non dovrebbe essere questo
$2 \sqrt(e^2-3)-lim_(b->3^+)2 \sqrt(b-3)$ ?
"djyoyo":
$lim_(b->3^+)(2/(sqrt(b-3))-(2/(sqrt(e^2-3)))$
non dovrebbe essere questo
$2 \sqrt(e^2-3)-lim_(b->3^+)2 \sqrt(b-3)$ ?
o cavoli è vero!!!!!! quando ho integrato per potenza ho messo un meno di troppo all esponente e l ho portato giù.. direi errore blu!! ma per il resto tutto ok? va bene la tecnica del sostituire l estremo all incognita laddove non crea problemi nell integrale? ti spiego, al corso tra spiegazione del prof ed esercitatori su quest'argomento ci siamo stati al massimo due ore, quindi ho le idee un pò confuse.. ma ora qualcosa mi inizia ad essere più chiaro:)
"djyoyo":
va bene la tecnica del sostituire l estremo all incognita laddove non crea problemi nell integrale?
Non capisco benissimo cosa vuoi dire con questa domanda.
Comunque a parte quello andava bene.
Il secondo se preferivi potevi farlo anche con una maggiorazione, ma è la stessa cosa.
ehm io dico per trovare la funzione integranda asintoticamente equivalente va bene quella come tecnica? ho visto un paio di esempi in cui facevano così per questo..
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