Problema con gli integrali

[MrChopin]

Non riesco a risolvere questo problema soprattutto per l'integrale relativo al cubo e soprattutto il dominio di questo:
$ intintint_v(x^(2)+y^(2))dxdydz $
dove V è:
il dominio esterno alla sfera di centro l'origine e raggio $ 1/2 $ e avente le facce parallele ai piani coordinati quindi:
$ intintint_v(x^(2)+y^(2))dxdydz = intintint_c(x^(2)+y^(2))dxdydz - intintint_s(x^(2)+y^(2))dxdydz $
il secondo integrale credo che sia facile e credo che debba sostituire con le coordinate cilindriche e il suo dominio dovrebbe essere :
$ S={(rho ,vartheta ,varphi )in R : 0 Quindi l'integrale sarebbe uguale di $ S $ :
$ intintint_s(x^(2)+y^(2))dxdydz = int_(0)^(1/2)rho^(4)drho int_(0)^(2pi) dvartheta int_(0)^(pi) sen^(3)(varphi) dvarphi $
Ma C? E' questo il suo dominio?
$ C={(x ,y ,z )in R : 0 oppure questo?
$ C={(x ,y ,z )in R : 0 Mi consiglia di fare delle riduzioni ma che pongo $ u=x^(2)+y^(2) $ e $ v $ ?

[killing_buddha]

Non è assolutamente chiaro cosa sia $V$, fai un disegno, sii piu preciso.

[cooper1]

un'altra cosa... se con S hai inteso il dominio esterno alla sfera io direi che:
1. non hai usato le coordinate cilindriche ma quelle sferiche
2. il $rho $ a mio avviso è sbagliato. il dominio dovrebbe essere $S={vecx in RR^3 : x^2+y^2+z^2 > 1/4}$. quindi direi che $(rho, theta, \varphi) in (1/2,+oo) xx (0,2pi) xx (0,pi)$

[MrChopin]

"killing_buddha":Non è assolutamente chiaro cosa sia $V$, fai un disegno, sii piu preciso.

Hai ragione ho sbagliato a scrivere la traccia.
$ intintint_v(x^(2)+y^(2))dxdydz $
dove V è:
il dominio esterno alla sfera di centro l'origine e raggio $ 1/2 $ e interno al cubo circoscritto alla sfera anzidetta e avente le facce parallele ai piani coordinati.
Quindi credo che sa figura sia questa:

Scusate se è fatta a mano libera e di fretta ,ma non riuscivo ad inserire un grafico nel vostro forum ne con geogebra ne con l'altro programma istallato sul vostro forum, in poche parole una parte della sfera e una parte del cubo sono sui quadranti negativi.
La parte in grigio credo che sia la figura di cui bisogna calcolare il volume cioè il volume del cubo sottratto del volume della sfera iscritto in esso, a z =0 e z=1/2 dovrebbe essere tutto grigio tranne un punto

"cooper":un'altra cosa... se con S hai inteso il dominio esterno alla sfera io direi che:
1. non hai usato le coordinate cilindriche ma quelle sferiche
2. il $ rho $ a mio avviso è sbagliato. il dominio dovrebbe essere $ S={vecx in RR^3 : x^2+y^2+z^2 > 1/4} $. quindi direi che $ (rho, theta, \varphi) in (1/2,+oo) xx (0,2pi) xx (0,pi) $

perchè $ rho$ va a $ +oo $? perchè devo usare quelle cilindriche per calcolarmi l'integrale della sfera?
Quello che sto facendo e calcolarmi prima l'integrale della sfera e quindi conoscere il suo volume e poi sottrarlo all'integrale volumetrico del cubo e quindi la sottrazione dei due volumi mi darà il volume che chiede l'esercizio.
Il problema e che non so come definire il dominio di sto cubo.

[cooper1]

"MrChopin":perchè ρ va a +∞? perchè devo usare quelle cilindriche per calcolarmi l'integrale della sfera?

ho scritto quel valore di $rho$ perchè ho completamente ignorato il cubo che tu non inserivi nel dominio e quindi consideravo solo la porzione di spazio esterno alla circonferenza.
quanto alle coordinate cilindriche: non devi usare quelle ma quelle sferiche ovviamente quando hai a che fare con la sfera, mentre tu hai detto che usavi quelle cilindriche. ma era riguardo solo al pezzo di sfera e non all'intero dominio, quindi lascia pure perdere, è solo terminologia.
col nuovo testo io direi che il dominio è $V={vecx in RR^3 : x^2+y^2+z^2 > 1/4 ^^ -1/2 quanto alla differenza che consideri non capisco il ragionamento. una volta che trovi come parametrizzare il dominio, la funzione da integrare ce l'hai e sei apposto. basta calcolare.