Problema con funzioni e derivate!
Ciao a tutti! tra circa una settimana ho l'esame di analisi matematica.... 
ma nn ho capito qst 2 quesiti... c'è qualcuno che mi potrebbe aiutare?? qual'è il procedimento giusto??
1)
Sia $f: 0 \to +\infty$ una funzione derivabile due volte, tale che $f(0) = f(2) = 0$ e che il $\lim_{x \to +\infty}f(x)/x^2=2$.
Dimostrare che esistono almeno due punti in cui $f'$ si annulla.
Calcolare il $\lim_{x \to +\infty}f(x)/log(x)$.
Mostrare che, per ogni $m > 0$, l'equazione $f(x) = mx$ ammette almeno una soluzione $x$ positiva.
2)
Sia $f: (0,+\infty) \to RR$ una funzione derivabile due volte, tale che $\lim_{x \to +\infty}x^2*f(x)=1$, il $lim_(x->0)f(x)/x=3$ e che $f(2) = -2$.
Calcolare $f(0)$ ed $f'(0)$. In quanti punti distinti la $f'$ si deve necessariamente annullare? Dimostrare che esiste almeno un punto $y > 0$ in
cui $f'(y) = -1$. Dimostrare che esiste almeno un punto $z > 0$ tale che $f(x) > 0$ per ogni $x > z$. Esiste il $\lim_{x \to +\infty}f'(x)$?
Attendo risposte... e grazie!!
ma nn ho capito qst 2 quesiti... c'è qualcuno che mi potrebbe aiutare?? qual'è il procedimento giusto??1)
Sia $f: 0 \to +\infty$ una funzione derivabile due volte, tale che $f(0) = f(2) = 0$ e che il $\lim_{x \to +\infty}f(x)/x^2=2$.
Dimostrare che esistono almeno due punti in cui $f'$ si annulla.
Calcolare il $\lim_{x \to +\infty}f(x)/log(x)$.
Mostrare che, per ogni $m > 0$, l'equazione $f(x) = mx$ ammette almeno una soluzione $x$ positiva.
2)
Sia $f: (0,+\infty) \to RR$ una funzione derivabile due volte, tale che $\lim_{x \to +\infty}x^2*f(x)=1$, il $lim_(x->0)f(x)/x=3$ e che $f(2) = -2$.
Calcolare $f(0)$ ed $f'(0)$. In quanti punti distinti la $f'$ si deve necessariamente annullare? Dimostrare che esiste almeno un punto $y > 0$ in
cui $f'(y) = -1$. Dimostrare che esiste almeno un punto $z > 0$ tale che $f(x) > 0$ per ogni $x > z$. Esiste il $\lim_{x \to +\infty}f'(x)$?
Attendo risposte... e grazie!!
Risposte
L'esercizio mi pare lo stesso postato qualche ora prima, tra l'altro con lo stesso errore nel testo $f:0->+oo$ che non si capisce che cosa significhi.
Chiarisco io, fashionprivate è un mio amico del liceo e non avendolo saputo aiutare (noi siamo purtroppo ancora ai limiti) l'ho indirizzato qui.
La parte $f: 0 rarr +\infty$ è in realtà $ f: [0, +\infty) rarr [0, +\infty) $
Danke
La parte $f: 0 rarr +\infty$ è in realtà $ f: [0, +\infty) rarr [0, +\infty) $
Danke
hai ragione Mirko... è vero... mi sn sbagliato nello scrivere.... vbb, spero che qualcuno sappia risolvere questo problema... perchè nn ne vengo fuori!
Ufffffffff!!
Ufffffffff!!
"fashionprivate":
Ciao a tutti! tra circa una settimana ho l'esame di analisi matematica....
1) Sia $ f: [0, +\infty) rarr [0, +\infty) $ una funzione derivabile due volte, tale che $f(0) = f(2) = 0$ e che il $\lim_{x \to +\infty}f(x)/x^2=2$.
Dimostrare che esistono almeno due punti in cui $f'$ si annulla.
Calcolare il $\lim_{x \to +\infty}f(x)/log(x)$.
Mostrare che, per ogni $m > 0$, l'equazione $f(x) = mx$ ammette almeno una soluzione $x$ positiva.
Intanto a funzione va da $[0,+oo)$ a $[0,+oo)$, quindi $f(0)=0$ e $f(2)=0$ sono due punti di minimo, ma mentre il primo è ad un estremo della funzione e lì la derivata potrebbe essere 0 oppure no, sicuramente $f'(2)=0$ perché la funzione è derivabile, inoltre, per il teorema di Rolle la derivata prima della funzione si annulla anche in un punto compreso tra 0 e 2.
Sapere che $\lim_{x \to +\infty}f(x)/x^2=2$ significa che la funzione ha lo stesso ordine di infinito di $x^2$ o se preferisci che il limite da calcolare può essere scritto $\lim_{x \to +\infty}f(x)/log(x)=\lim_{x \to +\infty}f(x)/x^2*x^2/log(x)=2* lim_{x \to +\infty}x^2/log(x)=2*0=0$
Considero la funzione $g(x)=f(x)-mx$, $g(2)=-2m$,$ lim_(x->+oo) g(x)=+oo$ (ricorda che la f(x) tende ad infinito come $2x^2$), poiché la funzione g(x) è continua deve assumere tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo, quindi anche 0.
Spero di essere stata chiara.
si!! sei stata chiarissima! grazie....!!! il secondo quesito è piu o meno la stessa cosa... vero? potresti risolvermi anche quello così sn sicuro di aver capito?
Cmq grazie x l'aiuto!! sei stata utilissima!!!!
Cmq grazie x l'aiuto!! sei stata utilissima!!!!
"fashionprivate":
2)
Sia $f: (0,+\infty) \to RR$ una funzione derivabile due volte, tale che $\lim_{x \to +\infty}x^2*f(x)=1$, il $lim_(x->0)f(x)/x=3$ e che $f(2) = -2$.
Calcolare $f(0)$ ed $f'(0)$. In quanti punti distinti la $f'$ si deve necessariamente annullare? Dimostrare che esiste almeno un punto $y > 0$ in
cui $f'(y) = -1$. Dimostrare che esiste almeno un punto $z > 0$ tale che $f(x) > 0$ per ogni $x > z$. Esiste il $\lim_{x \to +\infty}f'(x)$?
Il primo limite dice che per $x->+oo$ la funzione si comporta come $1/x^2$, cioè è infinitesima del secondo ordine, il secondo limite mi dice che in 0 la funzione è infinitesima del primo ordine (va a 0 come la x), quindi $f(0)=0$, ma il secondo limite è una forma indeterminata $0/0$ ottenuta dal rapporto di due funzioni derivabili, quindi ci sono le ipotesi per applicare il teorema di De L'Hopital, da cui si ricava $lim_(x->0)f(x)/x=lim_(x->0)f'(x)/1=3$, quindi $f'(0)=3$, quindi in 0 la funzione è crescente, ma poi deve scendere perché in 2 è negativa, ma deve risalire e diventare positiva perché per $x->+oo$ deve tendere a 0 come $1/x^2$, cioè deve tendere a $0^+$, ricapitolando la sua derivata si deve annullare almeno una volta prima di 2, un'altra un po' prima o un po' dopo il 2, una terza volta dopo il 2 quando la funzione smette di crescere per andare in asintoto all'asse delle ascisse, quindi $f'(x)=0$ almeno 3 volte.
Per gli altri due punti ci devo pensare un po' perché non riesco a dare una spiegazione precisa di quanto ho in mente.
grazie mille!!!!!! sei stata molto chiara anche qst volta!!!! grazie!!! se riesci a risolvere anche l'ultima parte sei perfetta!! cmq va già benissimo così!!!
Grazie ancora!!!
cmq va già benissimo così!!!Grazie ancora!!!
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