Problema con funzione zeta generalizzata e funzione omega di lambert
Salve, sono davanti a un problema, ovvero mi serve esprimere in qualche modo questa espressione ma non riesco se non con la funzione digamma se possibile... Ottenere un risultato in poche parole portando dietro il parametro k , vi ringrazio tantissimo in anticipo, non riesco proprio a uscirne fuori, probabilmente sarà semplice... Ditemi voi 
$ 6^k zeta (-k,7/6) + 6^k zeta (-k,5/6) $
In secondo luogo, nel cercare la funzione inversa di
$ y= 3x +3/2 -1/2(-1)^x $
Mi sono imbattuto nella funzione omega di lambert, il risultato che ho trovato è questo:
$ y= i/pi W(- pi/6 (-1)^(x/3)) + x/3 -1/2 $
Ho sbagliato? Come faccio a calcolare i valori di quest'ultima funzione? Ad esempio se a questa funzione do 101
perchè sia effettivamente l'inversa di quella di prima dovrei ottenere 33, ma non so come calcolare la funzione
Omega... Mi dareste una mano per favore? Grazie tante
$ 6^k zeta (-k,7/6) + 6^k zeta (-k,5/6) $
In secondo luogo, nel cercare la funzione inversa di
$ y= 3x +3/2 -1/2(-1)^x $
Mi sono imbattuto nella funzione omega di lambert, il risultato che ho trovato è questo:
$ y= i/pi W(- pi/6 (-1)^(x/3)) + x/3 -1/2 $
Ho sbagliato? Come faccio a calcolare i valori di quest'ultima funzione? Ad esempio se a questa funzione do 101
perchè sia effettivamente l'inversa di quella di prima dovrei ottenere 33, ma non so come calcolare la funzione
Omega... Mi dareste una mano per favore? Grazie tante
Risposte
Innanzitutto, chiarisci cosa sia \(\zeta (t,s)\) e che vuoi dire con "portando dietro il parametro \(k\)".
Per il resto, la funzione che citi, a meno di prolungamenti in campo complesso "poco credibili", è definita solo sui naturali (o, a voler essere buoni, sugli interi), prende valori naturali (o interi) e non è invertibile, perché ha per immagine un sottoinsieme dei numeri dispari.
Tale funzione associa:
\[
y(n):= \begin{cases} 3n+1 &\text{, se } n \text{ è pari}\\
3n+2 &\text{, se } n \text{ è dispari}.
\end{cases}
\]
Sia se \(n\) è pari sia se esso è dispari, hai \(y(n)\) dispari; ciò importa che, se \(n\) è pari [risp. dispari] allora \(y(n)-1\) [risp. \(y(n)-2\)] è un pari [risp. dispari] multiplo di \(3\) e che:
\[
n=\frac{y(n)-1}{3}\qquad \text{[risp. } n=\frac{y(n)-2}{3} \text{]}\; ;
\]
pertanto la corrispondenza "inversa" (nota le virgolette) è del tipo:
\[
n(y):= \begin{cases} \frac{y-1}{3} &\text{, se } y-1 \text{ è un pari multiplo di 3}\\
\frac{y-2}{3} &\text{, se } y-2 \text{ è un dispari multiplo di 3}.
\end{cases}
\]
Per il resto, la funzione che citi, a meno di prolungamenti in campo complesso "poco credibili", è definita solo sui naturali (o, a voler essere buoni, sugli interi), prende valori naturali (o interi) e non è invertibile, perché ha per immagine un sottoinsieme dei numeri dispari.
Tale funzione associa:
\[
y(n):= \begin{cases} 3n+1 &\text{, se } n \text{ è pari}\\
3n+2 &\text{, se } n \text{ è dispari}.
\end{cases}
\]
Sia se \(n\) è pari sia se esso è dispari, hai \(y(n)\) dispari; ciò importa che, se \(n\) è pari [risp. dispari] allora \(y(n)-1\) [risp. \(y(n)-2\)] è un pari [risp. dispari] multiplo di \(3\) e che:
\[
n=\frac{y(n)-1}{3}\qquad \text{[risp. } n=\frac{y(n)-2}{3} \text{]}\; ;
\]
pertanto la corrispondenza "inversa" (nota le virgolette) è del tipo:
\[
n(y):= \begin{cases} \frac{y-1}{3} &\text{, se } y-1 \text{ è un pari multiplo di 3}\\
\frac{y-2}{3} &\text{, se } y-2 \text{ è un dispari multiplo di 3}.
\end{cases}
\]
Grazie mille per la risposta, quindi non è invertibile in effetti hai ragione non ci avevo pensato, comunque perché non posso esprimere in quel modo compatto la funzione? Devo per forza definirla per casi? la prima espressione è la funzione zeta di riemann generalizzata, ciò che intendo è se si può ottenere un risultato, una semplificazione, di tale espressione, che ovviamente presenti il parametro k.
Buona giornata
Buona giornata
"Terrubik":
Grazie mille per la risposta, quindi non è invertibile in effetti hai ragione non ci avevo pensato, comunque perché non posso esprimere in quel modo compatto la funzione? Devo per forza definirla per casi?
E che ne sò... Prova a fare i conti.
"Terrubik":
la prima espressione è la funzione zeta di riemann generalizzata, ciò che intendo è se si può ottenere un risultato, una semplificazione, di tale espressione, che ovviamente presenti il parametro k.
Di generalizzazioni della zeta ne esisteranno millemila... Quale stai usando? Scrivi la definizione.
Mi riferisco a questa $ zeta (a,b) = sum_(k =0)^(oo)1/ (k+b)^(a) $
Se \(-k\) è un intero negativo (come si usa di solito), secondo le tue notazioni, hai:
\[
\zeta (-k,7/6) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+7/6)^{-k}} = \sum_{n=0}^\infty (n+7/6)^k
\]
e la serie a secondo membro non è convergente; lo stesso dicasi per 'altra serie.
Quindi, ti spiacerebbe chiarire una volta per tutte dove ti vuoi muovere?
Inoltre, ho letto la tua presentazione e ti consiglio vivamente di non perdere troppo tempo con queste cosacce relative alle funzioni speciali. Se vuoi imparare un po' di Matematica, prendi qualche altra strada.
\[
\zeta (-k,7/6) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+7/6)^{-k}} = \sum_{n=0}^\infty (n+7/6)^k
\]
e la serie a secondo membro non è convergente; lo stesso dicasi per 'altra serie.
Quindi, ti spiacerebbe chiarire una volta per tutte dove ti vuoi muovere?
Inoltre, ho letto la tua presentazione e ti consiglio vivamente di non perdere troppo tempo con queste cosacce relative alle funzioni speciali. Se vuoi imparare un po' di Matematica, prendi qualche altra strada.
A cosa ti riferisci riguardo al prendere qualche altra strada?? Grazie della risposta, comunque io ovviamente consideravo k negativi e quindi -k è positivo, non avrebbe avuto alcun senso perdere tutto questo tempo su due serie divergenti
A cosa ti riferisci riguardo al prendere qualche altra strada?? Grazie della risposta, comunque io ovviamente consideravo k negativi e quindi -k è positivo, non avrebbe avuto alcun senso perdere tutto questo tempo su due serie divergenti
Comunque sia la vedo un po' scocciato nel rispondermi, mi scuso se sono alle prime armi non vorrei farle perdere tempo, comunque imparare bene la matematica (non ho ben capito cosa intende lei per questo) è di sicuro ciò che voglio più di ogni altra cosa.
Comunque sia la vedo un po' scocciato nel rispondermi, mi scuso se sono alle prime armi non vorrei farle perdere tempo, comunque imparare bene la matematica (non ho ben capito cosa intende lei per questo) è di sicuro ciò che voglio più di ogni altra cosa.
"Terrubik":
comunque io ovviamente consideravo k negativi e quindi -k è positivo, non avrebbe avuto alcun senso perdere tutto questo tempo su due serie divergenti
"Ovviamente" per chi?
Per te che scrivi o per chi legge?
"Terrubik":
Comunque sia la vedo un po' scocciato nel rispondermi, mi scuso se sono alle prime armi non vorrei farle perdere tempo [...]
Seccato, non direi. Piuttosto, mi preme farti capire che, quando si scrive di Matematica, bisogna cercare di essere precisi e di rispettare alcuni canoni.
"Terrubik":
A cosa ti riferisci riguardo al prendere qualche altra strada??[...] comunque imparare bene la matematica (non ho ben capito cosa intende lei per questo) è di sicuro ciò che voglio più di ogni altra cosa.
Prendere una strada diversa dal puro e semplice smanettamento con le funzioni speciali (che sono materia da specialisti e servono solo a semplificare certi conti o certe notazioni).
Per quanto possano sembrare affascinanti, sulle funzioni speciali è stato detto quasi tutto ormai da tempo; ed, avendo la Matematica preso altre strade (e.g., rispetto alla rappresentazione esplicita di funzioni), esse sono diventate in un certo senso obsolete.
Per esempio, studiati qualche libro non troppo palloso di Analisi e/o Problem Solving: ad esempio, il Cauchy-Schwarz Masterclass di Steele o Street-fighting Mathematics di Mahajan (questo lo dovresti trovare in rete, perché è pubblicato sotto licenza CC).
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