Problema con funzione integrale.

[M4rk1]

Salve a tutti ragazzi...vi propongo un altro esercizio:

Data $f(x)=\int_{0}^{x}\frac{e^\sqrt(t)}{2t+3}dx$ devo determinare:
- Dominio di $f$;
- Ratta tangente al grafico di $f$ nel punto di ascissa $0$.

Allora il dominio secondo me è $t>=0$ poichè ho studiato il dominio della funzione integranda; per trovare la tangente utilizzerei la formula $y-y_0=f'(0)(x-x_0)$ avendo che $x_0=0$ e $f'(x)=\frac{e^\sqrt(t)}{2t+3}$ giusto? sostituisco $0$ a $t$? Ho confusione in questo passaggio...chi può aiutarmi?

Grazie mille

[Brancaleone1]

$f(x)=int_0^x g(t)dt=int_0^x e^(sqrtt)/(2t+3)dt$

dominio di g(t): $[0, +oo)$. Ciò basta per affermare che:
dominio di f(x): $[0, +oo)$

$f'(0)=e^(sqrt(0))/(2 cdot 0+3) =1/3$. Questo è il coefficiente angolare $m$ della retta tangente $y=mx+q$

Per trovare $q$: la retta $y=mx+q$ deve toccare la nostra funzione nel punto $x_0=0$, perciò mettendo insieme:
$y=mx_0+q=f(x_0)=int_0^0 g(t)dt=0$

$=>mx_0=m cdot 0 =-q=0$

La retta tangente in $x_0=0$ è dunque $y=1/3x$