Problema con funzione definita a tratti : continuità, ecc
raga... ho bisogno di conferme riguardo un esercizio che ho svolto oggi... Suona così:
Sia data la funzione:
$f(x)=$${(e^x,if x<=0),(ax^3+bx^2+cx+d,if x>0):}$
ove a, b, c, d, sono costanti reali. Si chiede:
1) di trovare per quali a, b, c, d la funzione f è continua nel suo dominio;
2) di trovare per quali a, b, c, d la funzione f è derivabile con derivata continua nel suo dominio;
3) di trovare per quali a, b, c, d la funzione f ha derivata seconda continua nel suo dominio;
4) di trovare per quali a, b, c, d la funzione f ha derivata seconda continua ed è convessa nel suo dominio.
Ho trovato questi risultati:
1)$d=1$
2)$c=1$ $d=1$
3)$b=1/2$ $c=1$ $d=1$
4)$a>=-1/(6x)$
I valori del punto 1) li ho ricavati calcolando il limite destro e sinistro di zero nelle rispettive zone in cui la funzione esiste.
Per calcolare i punti 2) e 3) ho calcolato il limite destro e sinistro di zero rispettivamente della derivata prima per il punto 2) e seconda per il punto 3) ricavando i vari valori delle costanti.
A voi tornano?
Sia data la funzione:
$f(x)=$${(e^x,if x<=0),(ax^3+bx^2+cx+d,if x>0):}$
ove a, b, c, d, sono costanti reali. Si chiede:
1) di trovare per quali a, b, c, d la funzione f è continua nel suo dominio;
2) di trovare per quali a, b, c, d la funzione f è derivabile con derivata continua nel suo dominio;
3) di trovare per quali a, b, c, d la funzione f ha derivata seconda continua nel suo dominio;
4) di trovare per quali a, b, c, d la funzione f ha derivata seconda continua ed è convessa nel suo dominio.
Ho trovato questi risultati:
1)$d=1$
2)$c=1$ $d=1$
3)$b=1/2$ $c=1$ $d=1$
4)$a>=-1/(6x)$
I valori del punto 1) li ho ricavati calcolando il limite destro e sinistro di zero nelle rispettive zone in cui la funzione esiste.
Per calcolare i punti 2) e 3) ho calcolato il limite destro e sinistro di zero rispettivamente della derivata prima per il punto 2) e seconda per il punto 3) ricavando i vari valori delle costanti.
A voi tornano?
Risposte
Al quarto punto dei aggiungere anche i valori del terzo..
E poi a me sembra sia $a>=-1/(6x)$
Ti trovi?
E poi a me sembra sia $a>=-1/(6x)$
Ti trovi?
Chi è $x$? 
Non c'è nessun $x$ nel testo dell'esercizio!
Non c'è nessun $x$ nel testo dell'esercizio!
"ing_mecc":
4) di trovare per quali a, b, c, d la funzione f ha derivata seconda continua ed è convessa nel suo dominio.
La funzione deve essere convessa in tutto il suo dominio,
per $x>=0$ lo è sempre
per $x<0$ si ha $y''=6ax+2b$ siccome $b=1/2$ si ha $y''=6ax+1$, affinché sia $y''>0$, si deve avere $6ax+1>0$ cioè $6ax> -1$.
Ora basta distinguere i casi $a>0$, $a=0$ e $a<0$
[mod="Fioravante Patrone"]Sistemato un piccolo problema con MathML: c'era scritto $6ax>-1$[/mod]
"leena":
Ora basta distinguere i casi $a>0$, $a=0$ e $a<0$
Mi piacerebbe vedere quali sono le tue conclusioni.
grazie intanto a tutti per le risposte...
quindi se non ho capito male, i primi tre punti li ho azzeccati... per quanto riguarda il quarto punto io ho risolto l'esercizio come leena senza però studiare i valori che a può assumere... il valore che ho trovato io è corretto?
ps: le soluzioni dei cari punti io le scriverei cosi
1)$AA$ a, b, c $in$ $RR$ e $d=1$
2)$AA$ a, b $in$ $RR$ e $c=d=1$
3)$AA$ a $in$ $RR$ e $b=1/2,c=d=1$
sono scritte in modo corretto?
pps : Chiedo scusa a tutti se non scrivo sempre in modo corretto i topic...
quindi se non ho capito male, i primi tre punti li ho azzeccati... per quanto riguarda il quarto punto io ho risolto l'esercizio come leena senza però studiare i valori che a può assumere... il valore che ho trovato io è corretto?
ps: le soluzioni dei cari punti io le scriverei cosi
1)$AA$ a, b, c $in$ $RR$ e $d=1$
2)$AA$ a, b $in$ $RR$ e $c=d=1$
3)$AA$ a $in$ $RR$ e $b=1/2,c=d=1$
sono scritte in modo corretto?
pps : Chiedo scusa a tutti se non scrivo sempre in modo corretto i topic...
Per il quarto punto dei considerare i vari casi,
se $a=0$, $y''=1$ quindi $y''>0$ e va bene
se $a>0$, $y''=6ax+1$ (e ricordando che siamo nel caso $x>0$), $6ax>0$, quindi anche $y''$
se $a<0$, $y''=6ax+1$, ora $6ax<0$, quindi la funzione non è sempre convessa.
Si accettano solo i valori di $a>=0$
Fioravante Patrone contento? Ho superato l'esame?
se $a=0$, $y''=1$ quindi $y''>0$ e va bene
se $a>0$, $y''=6ax+1$ (e ricordando che siamo nel caso $x>0$), $6ax>0$, quindi anche $y''$
se $a<0$, $y''=6ax+1$, ora $6ax<0$, quindi la funzione non è sempre convessa.
Si accettano solo i valori di $a>=0$
Fioravante Patrone contento? Ho superato l'esame?
azz... che rapidità nel rispondere... grazie... 
rimane sempre questo interrogativo...
rimane sempre questo interrogativo...
"ing_mecc":
ps: le soluzioni dei cari punti io le scriverei cosi
1)$AA$ a, b, c $in$ $RR$ e $d=1$
2)$AA$ a, b $in$ $RR$ e $c=d=1$
3)$AA$ a $in$ $RR$ e $b=1/2,c=d=1$
sono scritte in modo corretto?
"leena":
Fioravante Patrone contento? Ho superato l'esame?
No. Non hai superato l'esame.
Ovviamente tu non devi superare nessun esame, qui.
Sta a te e solo a te decidere se preferisci affrontare le lacune che hai oppure no. Credevo di aiutarti mettendo in evidenza una difficoltà che hai, ma a quanto pare tu la vedi diversamente.
Nessun problema. Come tu non devi superare nessun esame, io non sono tenuto a dedicare parte del mio tempo a questo thread.
No no se sbaglio mi interessa saperlo, assolutamente..
Dov'è l'errore nella mia risposta?
A questo punto conviene anche che lo sappia ing mecc!
Dov'è l'errore nella mia risposta?
A questo punto conviene anche che lo sappia ing mecc!
ehm... scusa Fioravante Petrone... avendo aperto io il thread mi faccio avanti chiedendoti scusa per questo qui pro quo.... gli aiuti di tutti sono graditi... ho un orale tra pochi giorni e vorrei sanare le mie lacune...
Infatti non vorrei averlo danneggiato piuttosto che aiutato, non era mia intenzione!
bhe dai ... chiarito il problema! amici come prima? Fioravante Petrone sei la mia speranza...
"ing_mecc":
ps: le soluzioni dei cari punti io le scriverei cosi
1)$AA$ a, b, c $in$ $RR$ e $d=1$
2)$AA$ a, b $in$ $RR$ e $c=d=1$
3)$AA$ a $in$ $RR$ e $b=1/2,c=d=1$
Io preferirei scrivere:
1)per $d=1$ e per qualsiasi a, b, c $in$ $RR$
e similmente gli altri punti.
Per due motivi. Uno è che tendo a limitare l'uso dei quantificatori in genere (ma è più una questione di gusto), eccetto che entro un discorso molto formalizzato.
L'altro è che qui $AA$ lo usi proprio solo come una stenografia, cosa che non mi pare opportuna.
"ing_mecc":???
pps : Chiedo scusa a tutti se non scrivo sempre in modo corretto i topic...
OK e il mio errore?
che vi devo dire... grazie mille!!! io purtroppo devo andare a dormire: la mia schiena fa cilecca... domani darò una occhiata al thread e se volete riapriremo la discussione... quando passate dalle mie parti avanzate una pizza... grazie ancora a tutti....
"ing_mecc":
Sia data la funzione:
$f(x)=$${(e^x,if x<=0),(ax^3+bx^2+cx+d,if x>0):}$
3) di trovare per quali a, b, c, d la funzione f ha derivata seconda continua nel suo dominio;
4) di trovare per quali a, b, c, d la funzione f ha derivata seconda continua ed è convessa nel suo dominio.
Ho trovato questi risultati:
3)$b=1/2$ $c=1$ $d=1$
4)$a>=-1/(6x)$
Allora, il punto 3, già risolto, ci dice che CNS è avere $b=1/2$ $c=1$ $d=1$ perché la funzione data abbia derivata seconda continua nel suo dominio (che è $RR$).
Ora, una funzione derivabile due volte su un intervallo ($RR$ è un intervallo) è convessa se solo se la derivata seconda è maggiore o uguale a zero su questo intervallo.
Ovviamente non ci sono problemi per $x \in ]-oo,0[$ (qui la derivata seconda è positiva).
La derivata seconda è maggiore o uguale a zero su $[0,+oo[$ se e solo se:
$6ax + 2b \ge 0$ per ogni $x \in [0,+oo[$.
Visto che $b=1/2$, la condizione è:
$6ax + 1 \ge 0$ per ogni $x \in [0,+oo[$.
Ovviamente, se $a \ge 0$, è $6ax + 1 \ge 0$ per ogni $x \in [0,+oo[$.
Se invece $a < 0$, è possibile trovare $x \in [0,+oo[$ t.c. $6ax + 1 < 0$ (ad esempio: $x = \frac{-1}{3a}$), quindi NON è vero che
$6ax + 1 \ge 0$ per ogni $x \in [0,+oo[$.
Pertanto, la funzione data non è convessa se $a<0$.
Scusami forse sono stupida, ma non riesco ancora a capire il mio errore, pensavo di aver detto questo, non spiegando tutto nei particolari, ma pensavo di aver fatto un ragionamento del genere..
Sbaglio?
Ora ho notato che ho fatto un errore di scrittura nel thread che mi hai moderato ma penso si capisca che mi sono imbrogliata invertendo i casi.. (tanto è vero che nel thread successivo ho scritto il caso giusto)
Qualcuno mi aiuta a capire il mio errore, per favore?
Sbaglio?
Ora ho notato che ho fatto un errore di scrittura nel thread che mi hai moderato ma penso si capisca che mi sono imbrogliata invertendo i casi.. (tanto è vero che nel thread successivo ho scritto il caso giusto)
Qualcuno mi aiuta a capire il mio errore, per favore?
Ricapitoliamo:
Ovviamente questa non può essere la risposta al punto 4, per questo banale motivo: il risultato non può dipendere da $x$, visto che $x$ non è un dato del problema.
Enfatizzo in questo modo l'affermazione, in quanto si tratta di un errore metodologico molto grave.
Leena risponde:
Come a dire: pagliuzze e travi, lune e dita.
A questo punto intervengo mettendo in evidenza l'errore grave:
La risposta "finale" di leena è:
L'affermazione da me evidenziata in rosso mostra chiaramente come NON sia stato "superato l'esame".
C'è una variabile, la $x$, che non è "quantificata".
Pertanto la validità di questa affermazione dipende da $x$.
Non essendo la $x$ un dato del problema (come ormai sanno anche le pietre), la risposta alla domanda 4) ancora manca.
Bastava dire:
ora, esiste $x > 0$ per cui $6ax<0$, quindi la funzione non è sempre convessa
Il fatto che leena non lo abbia detto, mi induce a ritenere che non abbia capito il punto più importante.
Pertanto, l'esame non è passato.
Cosa di cui non mi può fregar di meno. Ma questo forum è letto da un bel po' di gente e non deve passare un errore grosso come una casa come questo.
"ing_mecc":
...
Ho trovato questi risultati:
...
4)$a>=-1/(6x)$
Ovviamente questa non può essere la risposta al punto 4, per questo banale motivo: il risultato non può dipendere da $x$, visto che $x$ non è un dato del problema.
Enfatizzo in questo modo l'affermazione, in quanto si tratta di un errore metodologico molto grave.
Leena risponde:
"leena":
E poi a me sembra sia $a>=-1/(6x)$
Come a dire: pagliuzze e travi, lune e dita.
A questo punto intervengo mettendo in evidenza l'errore grave:
"Fioravante Patrone":
Chi è $x$?
Non c'è nessun $x$ nel testo dell'esercizio!
La risposta "finale" di leena è:
"leena":
...
se $a<0$, $y''=6ax+1$, ora $6ax<0$, quindi la funzione non è sempre convessa.
Si accettano solo i valori di $a>=0$
Fioravante Patrone contento? Ho superato l'esame?
L'affermazione da me evidenziata in rosso mostra chiaramente come NON sia stato "superato l'esame".
C'è una variabile, la $x$, che non è "quantificata".
Pertanto la validità di questa affermazione dipende da $x$.
Non essendo la $x$ un dato del problema (come ormai sanno anche le pietre), la risposta alla domanda 4) ancora manca.
Bastava dire:
ora, esiste $x > 0$ per cui $6ax<0$, quindi la funzione non è sempre convessa
Il fatto che leena non lo abbia detto, mi induce a ritenere che non abbia capito il punto più importante.
Pertanto, l'esame non è passato.
Cosa di cui non mi può fregar di meno. Ma questo forum è letto da un bel po' di gente e non deve passare un errore grosso come una casa come questo.
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