Problema con forma differenziale
Ragazzi mi sto preparando per gli esami e c'è questo esercizio che non riesco a risolvere:
Determinare una funzione $f(y)$ di classe $C^1$ in tutto R tale che $f(0) = 1$ e tale che la forma differenziale
$w = f(y)dx + xf(y)dy$ sia esatta in $R^2$. Successivamente determinare tutte le primitive di w.
Ho fatto così:
Per essere esatta => deve esiste una funzione differenziale tale df=w
quindi:
$f_x(x,y)=a(x,y) e f_y(x,y)=b(x,y)$ quindi impongo che
$f_x(x,y)=f(y)dy e f_y(x,y)=xf(y)dy$
Dopo di che che, cosa devo fare???devo imporre che f(0)=1 e quindi
$f_x(x,y)=dy e f_y(x,y)=xdy$
oppure procedere
con f(y) generico e quindi risolvere tutto in questo modo:
$f_x(x,y)=f(y)dy e f_y(x,y)=xf(y)dy$
Grazie per eventuli risposte.
Determinare una funzione $f(y)$ di classe $C^1$ in tutto R tale che $f(0) = 1$ e tale che la forma differenziale
$w = f(y)dx + xf(y)dy$ sia esatta in $R^2$. Successivamente determinare tutte le primitive di w.
Ho fatto così:
Per essere esatta => deve esiste una funzione differenziale tale df=w
quindi:
$f_x(x,y)=a(x,y) e f_y(x,y)=b(x,y)$ quindi impongo che
$f_x(x,y)=f(y)dy e f_y(x,y)=xf(y)dy$
Dopo di che che, cosa devo fare???devo imporre che f(0)=1 e quindi
$f_x(x,y)=dy e f_y(x,y)=xdy$
oppure procedere
con f(y) generico e quindi risolvere tutto in questo modo:
$f_x(x,y)=f(y)dy e f_y(x,y)=xf(y)dy$
Grazie per eventuli risposte.
Risposte
Prima di tutto la forma deve essere chiusa, duncuqe $\frac{\partial f(y)}{\partial y}= \frac{\partial [xf(y)]}{\partial x}$. Questo di da une equazione differenziale da risolvere.
Ciao innanzi tutto grazie della risposta. Volevo chiederti perchè deve essere per prima cosa chiusa???? La chiusura non implica l'esattezza a meno che w non sia definita in un insieme stellato o in un rettangolo o in un insieme semplicemente connesso????
Nonostante questo ho fatto i calcoli, potresti controllarli???
Per assere chiusa $a_y(x,y)=b_x(x,y)$ quindi sarà
$f'(y)=f(y)$
da cui fancedo l'equazione associata trovo
$l=1$
e quindi la soluzione è $f_1=e^yc_1$
poi impongo la condizione che $f(0)=1$
e trovo quindi che $f(y)=e^y$
Sostituendo alla foma differenziale di partenza avrò che:
$w=e^ydx+xe^ydy$
da cui facendo i vari passaggi trovo che una primitiva è data da
$f(x,y)=xe^y+k$
Nonostante questo ho fatto i calcoli, potresti controllarli???
Per assere chiusa $a_y(x,y)=b_x(x,y)$ quindi sarà
$f'(y)=f(y)$
da cui fancedo l'equazione associata trovo
$l=1$
e quindi la soluzione è $f_1=e^yc_1$
poi impongo la condizione che $f(0)=1$
e trovo quindi che $f(y)=e^y$
Sostituendo alla foma differenziale di partenza avrò che:
$w=e^ydx+xe^ydy$
da cui facendo i vari passaggi trovo che una primitiva è data da
$f(x,y)=xe^y+k$
"fk16":
Ciao innanzi tutto grazie della risposta. Volevo chiederti perchè deve essere per prima cosa chiusa?
Abbiamo bisogno di condizioni su $f$ per che la forma sia esatta. Si suppone dunque la forma esatta, e una forma esatta è chiusa, e il fatto che la forma sia chiusa da une informazione su $f$. E questa basta per determinare $f$. Dopo bisogno infatti verificare che funziona, ed è quello che hai fatto.
"fk16":
Sostituendo alla foma differenziale di partenza avrò che:
$w=e^ydx+xe^ydy$
da cui facendo i vari passaggi trovo che una primitiva è data da
$f(x,y)=xe^y+k$
I calcoli sembrano corretti, solo une piccola cosa: è meglio chiamare l'ultima funzione $g$, perché la lettera $f$ è gia occupata.
Grazie tante ora mi è tutto chiaro=)
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