Problema con esercizio sul carattere di una integrale
Salve ragazzi, mi trovo ad affrontare un esercizio che richiede la risoluzione del seguente limite, ma ho qualche difficoltà nel capire un passaggio:
lim x->0+ $log(1+y/2+o(y))/(y+o(y)$
il testo suggerisce questa soluzione
$(y/2+o(y))/(y+o(y))$ per x->0+
mi chiedo se in questo passaggio sia stato semplicemente riscritto il $log(1+y/2+o(y))$ con Taylor o se sia stata fatta qualche ulteriore considerazione asintotica che non riesco a capire nell'argomento del log.
Grazie ragazzi!
lim x->0+ $log(1+y/2+o(y))/(y+o(y)$
il testo suggerisce questa soluzione
$(y/2+o(y))/(y+o(y))$ per x->0+
mi chiedo se in questo passaggio sia stato semplicemente riscritto il $log(1+y/2+o(y))$ con Taylor o se sia stata fatta qualche ulteriore considerazione asintotica che non riesco a capire nell'argomento del log.
Grazie ragazzi!
Risposte
Ad occhio sembrerebbe di si perchè :
cioè lo sviluppo di MacLaurin arrestato al secondo termine, quindi andando a ritroso avremmo :
sviluppando in serie di MacLaurin il numeratore (e arrestandoci al primo termine) si ha:
però attendi una conferma da chi ne sa più di me sugli o-piccolo perchè a riguardo ne so veramente poco..
\(\displaystyle 1 +\frac{y}{2} + o(y) = \sqrt{1+y} \)
cioè lo sviluppo di MacLaurin arrestato al secondo termine, quindi andando a ritroso avremmo :
\(\displaystyle \frac{log(\sqrt{1+y})}{y+o(y)} \)
sviluppando in serie di MacLaurin il numeratore (e arrestandoci al primo termine) si ha:
\(\displaystyle \frac{log(\sqrt{1+y})}{y+o(y)} \sim \frac{\frac{y}{2} + o(y)}{y+o(y)} \)
però attendi una conferma da chi ne sa più di me sugli o-piccolo perchè a riguardo ne so veramente poco..
Ooook, ti ringrazio intanto 
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