Problema con Esercizio sugli integrali
Salve ho un problema con un integrale.
In particolare l'integrale in questione risulta essere :
$\int \frac{\sqrt(2e^x + 2)}{2e^x - 2} * e^x dx$
Ho provato a cerca un qualche metodo per sostituire purtroppo non riesco a risolvere. Potreste darmi una mano per favore ? Grazie mille.
In particolare l'integrale in questione risulta essere :
$\int \frac{\sqrt(2e^x + 2)}{2e^x - 2} * e^x dx$
Ho provato a cerca un qualche metodo per sostituire purtroppo non riesco a risolvere. Potreste darmi una mano per favore ? Grazie mille.
Risposte
Se lo guardi bene. ...a parte sistemare qualche coefficiente, è facile ricondurlo ad un integrale del tipo $ int 1/(t^2-4) dt $...quindi molto semplice
Ciao !
Io inizierei portando $e^x$ nel differenziale , a quel punto trovi
$ \int \frac{\sqrt(2e^x + 2)}{2e^x - 2} * e^x dx=1/sqrt2intsqrt(x+1)/(x-1)dx $
da qui la sostituzione che mi sembra più veloce è
$sqrt(x+1)=y$
Io inizierei portando $e^x$ nel differenziale , a quel punto trovi
$ \int \frac{\sqrt(2e^x + 2)}{2e^x - 2} * e^x dx=1/sqrt2intsqrt(x+1)/(x-1)dx $
da qui la sostituzione che mi sembra più veloce è
$sqrt(x+1)=y$
Considera ad occhio l'opportunità di sostituzione della radice.. Di fatti:
$y=sqrt(e^x+1) <=> dy=e^x/(2sqrt(e^x+1))dx$
che è una cosa facilmente ottenibile se moltiplichi numeratore e denominatore per $sqrt(e^x+1)$
Infondo le tre cose dette sono tutte equivalenti e portano alla stessa soluzione.
$y=sqrt(e^x+1) <=> dy=e^x/(2sqrt(e^x+1))dx$
che è una cosa facilmente ottenibile se moltiplichi numeratore e denominatore per $sqrt(e^x+1)$
Infondo le tre cose dette sono tutte equivalenti e portano alla stessa soluzione.
"whowas":
Ho provato a cerca un qualche metodo per sostituire purtroppo non riesco a risolvere.
riassumendo: in qualunque modo tu attacchi l'integrale lo risolvi facilmente...ora una domanda mi sorge spontanea...tu che sostituzione hai provato a fare?
Salve, grazie a tutti per le risposte.
Per quanto riguarda il mio svolgimento, ho utilizzato la sostituzione $t = \sqrt(2e^x + 2)$, arrivando esattamente ad $\int \frac{1}{t^2 - 4}$.
Applicando i metodi di integrazione dei fratti semplici, sono arrivato ad avere:
$ \int 4 dt + \frac{1}{4}\int \frac{1}{t-2} dt - \frac{1}{4} \int \frac{1}{t+2} dt $
Tuttavia non riuscivo ad arrivare ad una soluzione certamente corretta, in quando su wolfram alfa, notavo che la soluzione se non sbaglio era $tagh^-1$ di qualcosa, mentre nella mia soluzione trovo una costante per t sommata ad un ln.
Con precisione ho come risultato:
$4\sqrt(2e^x + 2) + \frac{1}{4} ln|\frac{\sqrt(2e^x + 2) -2}{\sqrt(2e^x + 2) + 2}|$.
Come risultato è esatto oppure ho commesso qualche errore ?
Per quanto riguarda il mio svolgimento, ho utilizzato la sostituzione $t = \sqrt(2e^x + 2)$, arrivando esattamente ad $\int \frac{1}{t^2 - 4}$.
Applicando i metodi di integrazione dei fratti semplici, sono arrivato ad avere:
$ \int 4 dt + \frac{1}{4}\int \frac{1}{t-2} dt - \frac{1}{4} \int \frac{1}{t+2} dt $
Tuttavia non riuscivo ad arrivare ad una soluzione certamente corretta, in quando su wolfram alfa, notavo che la soluzione se non sbaglio era $tagh^-1$ di qualcosa, mentre nella mia soluzione trovo una costante per t sommata ad un ln.
Con precisione ho come risultato:
$4\sqrt(2e^x + 2) + \frac{1}{4} ln|\frac{\sqrt(2e^x + 2) -2}{\sqrt(2e^x + 2) + 2}|$.
Come risultato è esatto oppure ho commesso qualche errore ?
C'è qualche piccolo errore con le costanti. Roba da poco, però dovrebbe venire:
$sqrt(2e^x+2)+ln|(sqrt(e^x+1)-sqrt2)/(sqrt(e^x+1)+sqrt2)|+c$
$sqrt(2e^x+2)+ln|(sqrt(e^x+1)-sqrt2)/(sqrt(e^x+1)+sqrt2)|+c$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo