Problema con esercizio su serie
Ciao a tutti. devo trovare il carattere di questa serie
quale è il modo di procedere? devo risolvere l'integrale o posso fare altri ragionamenti?
nel caso debba risolvere l'integrale, datemi un suggerimento su come farlo perché ho già tentato invano.
grazie
quale è il modo di procedere? devo risolvere l'integrale o posso fare altri ragionamenti?
nel caso debba risolvere l'integrale, datemi un suggerimento su come farlo perché ho già tentato invano.
grazie
Risposte
Prova con il teorema della media!
Proprio lui!
Allora...
$ 2int_(0)^(1/2) (1/2)((arctan(2x))^(2n-1)/(1+4x^2)) = 2sum_(i = 0)^(oo)((1/2)(1/n)((arctan(2x))^(2n-1))/(1+4x^2)) $
è corretto?
grazie
$ 2int_(0)^(1/2) (1/2)((arctan(2x))^(2n-1)/(1+4x^2)) = 2sum_(i = 0)^(oo)((1/2)(1/n)((arctan(2x))^(2n-1))/(1+4x^2)) $
è corretto?
grazie
Quell'uguaglianza direi proprio di no, non capisco nemmeno da dove tu l'abbia cavata.
Se hai capito cosa ti dice quel teorema e tieni conto del fatto che l'integranda è continua su $[0,1/2]$, è praticamente fatta.
Se hai capito cosa ti dice quel teorema e tieni conto del fatto che l'integranda è continua su $[0,1/2]$, è praticamente fatta.
@Giuly19: Sinceramente non vedo come usare il MVT... Esso ti garantisce che, per ogni \(n\), esiste un \(x_n\in [0,\frac{1}{2}]\) tale che:
\[ a_n= \frac{\arctan^{2n-1} (2x_n)}{2(1+4x_n^2)}\]
però non vedo ciò come possa aiutare.
@dark.hero: L'integrale che hai davanti è immediato: infatti l'integrale indefinito è del tipo:
\[ \int f^\alpha (x)\ f^\prime (x)\ \text{d} x \; \ldots\]
Se non vuoi procedere direttamente al calcolo, visto che la serie è a segni alterni (infatti \( a_n>0\)), puoi facilmente verificare se essa soddisfa o meno le ipotesi del criterio di Leibniz.
\[ a_n= \frac{\arctan^{2n-1} (2x_n)}{2(1+4x_n^2)}\]
però non vedo ciò come possa aiutare.
@dark.hero: L'integrale che hai davanti è immediato: infatti l'integrale indefinito è del tipo:
\[ \int f^\alpha (x)\ f^\prime (x)\ \text{d} x \; \ldots\]
Se non vuoi procedere direttamente al calcolo, visto che la serie è a segni alterni (infatti \( a_n>0\)), puoi facilmente verificare se essa soddisfa o meno le ipotesi del criterio di Leibniz.
non mi ero accorto che l'integrale era così semplice...
mi viene: $ sum 1/(4n)(pi/4)^(2n) $
faccio il limite di an che tende a infinito e trovo che vale 0. quindi la serie converge.
ora però ho un altro problema: come faccio a dire che la successione delle somme parziali non è monotona? però forse è tardi ed è meglio se ci penso domani.
grazie ad entrambi per l'aiuto!
mi viene: $ sum 1/(4n)(pi/4)^(2n) $
faccio il limite di an che tende a infinito e trovo che vale 0. quindi la serie converge.
ora però ho un altro problema: come faccio a dire che la successione delle somme parziali non è monotona? però forse è tardi ed è meglio se ci penso domani.
grazie ad entrambi per l'aiuto!
Sinceramente neppure io avevo pensato a quella strada.
Comunque per il teorema della media come hai detto tu $x_n in (0,1/2)$, quindi posso maggiorare il termine generale della serie con, per esempio : $( artg1) ^(2n-1) /2 $, che la fa diventare convergente assolutamente e quindi semplicemente.
E' sbagliato?
Comunque per il teorema della media come hai detto tu $x_n in (0,1/2)$, quindi posso maggiorare il termine generale della serie con, per esempio : $( artg1) ^(2n-1) /2 $, che la fa diventare convergente assolutamente e quindi semplicemente.
E' sbagliato?
"dark.hero":
non mi ero accorto che l'integrale era così semplice...
mi viene: $ sum 1/(4n)(pi/4)^(2n) $
faccio il limite di an che tende a infinito e trovo che vale 0. quindi la serie converge.
ora però ho un altro problema: come faccio a dire che la successione delle somme parziali non è monotona? però forse è tardi ed è meglio se ci penso domani.
grazie ad entrambi per l'aiuto!
A dire il vero non è proprio così. Infatti
\[a_n=\int_{0}^{1/2} \frac{\arctan^{2n-1}(2x)}{1+4x^2}\,dx=\left [ \frac{\arctan^{2n}(2x)}{4n}\right]_{0}^{1/2}=\left (\frac{\pi}{4}\right)^{2n}\cdot \frac{1}{4n}\to 0\]
ma questo non significa assolutamente nulla riguardo al carattere della serie. Ricordati, inoltre, che la serie originale è
\[\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2n} \frac{1}{4n}\]
Come ti è stato suggerito, prova il criterio di Leibniz.
Per la seconda parte, ti consiglio di vedere bene quale sia il termine generale della serie e quindi trai opportune conclusioni (potrebbe essere utile l'uso di successioni estratte).
dal mio libro (analisi 2 canuto tabacco) leggo che per il criterio di leibniz la serie (a termini di segno alterno) è convergente se il limite, con n tendente a infinito, di an è pari a zero, e la successione {an} è monotona decrescente.
dove ho sbagliato allora?
grazie
dove ho sbagliato allora?
grazie
Non hai sbagliato, solo non hai dimostrato che \(a_n\) è monotona decrescente (non che questo sia difficile, ecco).
facendo il limite ad infinito posso aver trovato un estremo superiore o un estremo inferiore, a seconda che sia monotona crescente o decrescente. (giusto?)
per verificare se è monotona crescente ho letto che devo fare il rapporto tra $ an+1 $ e $ an $ e verificare che questo sia maggiore di 1. è l'unica strada?
grazie
per verificare se è monotona crescente ho letto che devo fare il rapporto tra $ an+1 $ e $ an $ e verificare che questo sia maggiore di 1. è l'unica strada?
grazie
Vero, se \(a_n\) decresce allora
\[\underset{n\to\infty}\lim a_n = \inf \{a_n\}\]
se cresce
\[\underset{n\to\infty}\lim a_n =\sup \{a_n\}\]
Per dimostrare che una successione \(a_n\) decresce si può tranquillamente usare la definizione: \(a_n \geq a_{n+1}\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}\), che è equivalente al chiedere che il rapporto di due termini consecutivi sia minore di \(1\). Altrimenti in certi casi conviene passare al continuo e considerare una funzione \(f(x)\,\,\,\forall x\geq 1\) e studiarne la monotonia con la derivata.
\[\underset{n\to\infty}\lim a_n = \inf \{a_n\}\]
se cresce
\[\underset{n\to\infty}\lim a_n =\sup \{a_n\}\]
Per dimostrare che una successione \(a_n\) decresce si può tranquillamente usare la definizione: \(a_n \geq a_{n+1}\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}\), che è equivalente al chiedere che il rapporto di due termini consecutivi sia minore di \(1\). Altrimenti in certi casi conviene passare al continuo e considerare una funzione \(f(x)\,\,\,\forall x\geq 1\) e studiarne la monotonia con la derivata.
grazie
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