Problema con esercizio su PDE
Ciao a tutti!
Sto risolvendo un esercizio sulle PDE un po' diverso da quelli fatti in precedenza.
La traccia è questa:
$\{((del^2u)/(delx^2)+(del^2u)/(dely^2)=0 , 0
Non riesco a capire perché non si mette sotto forma di sistema anche se ho utilizzato gli stessi simboli della guida O.O Apprezzate almeno lo sforzo XD
L'esercizio lo svolgo con il metodo delle variabili separabili.
Quindi ho: $X''Y + Y''X =0$ per poi diventare $frac{X''}{X}= -frac{Y''}{Y}=-lambda^2$
con $lambda$ costante di separazione
Quindi ottengo $u(x,y)= (A_1sin(lambdax)+B_1cos(lambdax))* (A_2sinh(lambday)+B_2cosh(lambday))$
Applico le condizioni al bordo : $u(0,y)=0$ significa che $A_1 = 0$
Quindi riscrivo $u(x,y)= sin(lambdax)*(Asinh(lambday)+Bcosh(lambday))$
Proseguendo $u(10,y) = 0$ significa che $sin(lambda10) = 0$ ovvero $lambda = frac{mpi}{10}$
Riscrivo di nuovo $u(x,y)= sin(frac{mpi}{10}x)* (Asinh(frac{mpi}{10}y)+Bcosh(frac{mpi}{10}y))$
Ora viene il bello.
La penultima condizione dice $u(x,11)=0$. Io ho fatto come i passaggi precedenti, ovvero ho sostituito $11$ a $y$ e messo ciò che mi viene$ = 0$.
Quando è che è vera l'equazione? Io ho pensato quando B = 0.
E secondo me qui sbaglio perché dopo riscrivendo viene: $u(x,y) = sin(frac{mpi}{10}x)* (Asinh(frac(mpi}{10}y))$
La successiva condizione ovvero l'ultima è $u(x,0) = 3x-2$
Quest'ultima viene soddisfatta con l'utilizzo della teoria di Fourier.
Purtroppo non mi trovo con la soluzione dell'esercizio perché ha come seno iperbolico $Asinh(frac(mpi(11-y)}{10})$ anziché soltanto $ y$ come nel mio caso.
Cosa ho sbagliato? Perché c'è $11-y$ ?
Grazie a tutti!
Sto risolvendo un esercizio sulle PDE un po' diverso da quelli fatti in precedenza.
La traccia è questa:
$\{((del^2u)/(delx^2)+(del^2u)/(dely^2)=0 , 0
Non riesco a capire perché non si mette sotto forma di sistema anche se ho utilizzato gli stessi simboli della guida O.O Apprezzate almeno lo sforzo XD
L'esercizio lo svolgo con il metodo delle variabili separabili.
Quindi ho: $X''Y + Y''X =0$ per poi diventare $frac{X''}{X}= -frac{Y''}{Y}=-lambda^2$
con $lambda$ costante di separazione
Quindi ottengo $u(x,y)= (A_1sin(lambdax)+B_1cos(lambdax))* (A_2sinh(lambday)+B_2cosh(lambday))$
Applico le condizioni al bordo : $u(0,y)=0$ significa che $A_1 = 0$
Quindi riscrivo $u(x,y)= sin(lambdax)*(Asinh(lambday)+Bcosh(lambday))$
Proseguendo $u(10,y) = 0$ significa che $sin(lambda10) = 0$ ovvero $lambda = frac{mpi}{10}$
Riscrivo di nuovo $u(x,y)= sin(frac{mpi}{10}x)* (Asinh(frac{mpi}{10}y)+Bcosh(frac{mpi}{10}y))$
Ora viene il bello.
La penultima condizione dice $u(x,11)=0$. Io ho fatto come i passaggi precedenti, ovvero ho sostituito $11$ a $y$ e messo ciò che mi viene$ = 0$.
Quando è che è vera l'equazione? Io ho pensato quando B = 0.
E secondo me qui sbaglio perché dopo riscrivendo viene: $u(x,y) = sin(frac{mpi}{10}x)* (Asinh(frac(mpi}{10}y))$
La successiva condizione ovvero l'ultima è $u(x,0) = 3x-2$
Quest'ultima viene soddisfatta con l'utilizzo della teoria di Fourier.
Purtroppo non mi trovo con la soluzione dell'esercizio perché ha come seno iperbolico $Asinh(frac(mpi(11-y)}{10})$ anziché soltanto $ y$ come nel mio caso.
Cosa ho sbagliato? Perché c'è $11-y$ ?
Grazie a tutti!
Risposte
"DeAndreon":
Ora viene il bello.
La penultima condizione dice $u(x,11)=0$. Io ho fatto come i passaggi precedenti, ovvero ho sostituito $11$ a $y$ e messo ciò che mi viene$ = 0$.
Quando è che è vera l'equazione? Io ho pensato quando B = 0.
E secondo me qui sbaglio perché dopo riscrivendo viene: $u(x,y) = sin(frac{mpi}{10}x)* (Asinh(frac(mpi}{10}y))$
E infatti qui sbagli. L'equazione si annulla se:
$B=-A tgh((11 m pi)/(10))$
Quindi moltiplica tutto per $cosh((11 m pi)/(10))$.
Confronta quello che ottieni con le formule di addizione per funzioni iperboliche.
"robbstark":
[quote="DeAndreon"]
Ora viene il bello.
La penultima condizione dice $u(x,11)=0$. Io ho fatto come i passaggi precedenti, ovvero ho sostituito $11$ a $y$ e messo ciò che mi viene$ = 0$.
Quando è che è vera l'equazione? Io ho pensato quando B = 0.
E secondo me qui sbaglio perché dopo riscrivendo viene: $u(x,y) = sin(frac{mpi}{10}x)* (Asinh(frac(mpi}{10}y))$
E infatti qui sbagli. L'equazione si annulla se:
$B=-A tgh((11 m pi)/(10))$
Quindi moltiplica tutto per $cosh((11 m pi)/(10))$.
Confronta quello che ottieni con le formule di addizione per funzioni iperboliche.[/quote]
Ciao! Grazie per la risposta
Si, ci sono quasi.
Sono arrivato ad ottenere:
$u(x,y) = -A frac{sin(frac{mpix}{10})*sinh(frac{mpi(11-y)}{10})}{cosh(frac{mpi11}{10})}$
ora come faccio a far sparire quel $cosh$ al denominatore? moltiplicando poi me lo ritrovo accanto a $u(x,y)$.
Grazie
Non vorrei dire una banalità, ma $u(0,y)=B_1\cdot ...=0$ per cui $B_1=0$.
"ciampax":
Non vorrei dire una banalità, ma $u(0,y)=B_1\cdot ...=0$ per cui $B_1=0$.
Ciao
sisi, ho sbagliato a ricopiare, è $B_1$ XD infatti nel passaggio successivo c'è il $sin$ XD
"DeAndreon":
Sono arrivato ad ottenere:
$u(x,y) = -A frac{sin(frac{mpix}{10})*sinh(frac{mpi(11-y)}{10})}{cosh(frac{mpi11}{10})}$
ora come faccio a far sparire quel $cosh$ al denominatore? moltiplicando poi me lo ritrovo accanto a $u(x,y)$.
Grazie
Quel denominatore è un valore ben preciso per $m$ fissato. Lo inglobi nella costante, che puoi chiamare $A_m$, e così sparisce. E' chiaro perchè si può fare?
Poi la soluzione generale sarà:
$u(x,y) = - sum_{m=0}^{+infty} A_m sin(frac{mpix}{10}) sinh(frac{mpi(11-y)}{10})$
Quindi con l'ultima condizione dovresti concludere.
"robbstark":
[quote="DeAndreon"]
Sono arrivato ad ottenere:
$u(x,y) = -A frac{sin(frac{mpix}{10})*sinh(frac{mpi(11-y)}{10})}{cosh(frac{mpi11}{10})}$
ora come faccio a far sparire quel $cosh$ al denominatore? moltiplicando poi me lo ritrovo accanto a $u(x,y)$.
Grazie
Quel denominatore è un valore ben preciso per $m$ fissato. Lo inglobi nella costante, che puoi chiamare $A_m$, e così sparisce. E' chiaro perchè si può fare?
Poi la soluzione generale sarà:
$u(x,y) = - sum_{m=0}^{+infty} A_m sin(frac{mpix}{10}) sinh(frac{mpi(11-y)}{10})$
Quindi con l'ultima condizione dovresti concludere.[/quote]
Ciao! Buongiorno
Purtroppo non mi è chiaro perché inglobi alla costante il denominatore...
Si, con l'ultima condizione concludo e mi trovo
"DeAndreon":
Purtroppo non mi è chiaro perché inglobi alla costante il denominatore...
Un esempio:
$y=mx$ è il fascio di rette passanti per l'origine.
$y=m/2 x $ è evidentemente lo stesso fascio.
Inoltre se poni $m' = m/2$ il secondo lo scrivi come $y=m' x$, che è lo stesso del primo solo che hai cambiato il nome della costante. Siccome non cambia nulla se la chiami $m$ o $m'$, si dice che puoi inglobare il $2$ nella $m$.
Nel caso dell'esercizio, il denominatore, fissato $m$, è pure un numero che puoi quindi inglobare nella costante allo stesso modo di sopra. Il fatto è che non dipende dalle incognite $x$ o $y$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo