Problema con esercizio limiti

[delca85]

Ciao ragazzi! Non riesco a risolvere questo esercizio:
determinare, se possibile, due equazioni $f,g : [0,2]->RR$ tali che $lim_(x->1) f(x)=lim_(x->1) g(x)=0$ e $ \nexists lim_(x->1) (f(x)/g(x))$
Vi dico le riflessioni che ho fatto io, per quanto ovvie possano essere:
f e g o sono continue i 1 oppure per loro 1 è un punto di discontinuità;
$f(x)/g(x)$ ha in 1 un punto di accumulazione sicuramente, ma può logicamente non esser definita in quel punto.
Non riesco però a trovare le due funzioni che soddisfino quella richiesto e nemmeno a dimostrare che non è possibile trovarle.
Ringrazio chiunque mi vorrà dare una mano!
Ciao!

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Admin: Esercizi sui limiti

[maurer]

Ti posto il mio ragionamento. Se il limite non esiste allora vuol dire: (1) limite destro e sinistro sono diversi tra loro; (2) la funzione oscilla infinite nell'intorno del punto senza tendere a nulla; (3) la funzione non è definita nell'intorno del punto.
La (1) non sembra molto promettente; ragionando sulla (2) ho trovato $f(x)=(x-1)*sin(1/(x-1))$ e $g(x)=x-1$. Entrambe sono infinitesimi per $x \to 1$ e tuttavia il loro rapporto non ammette limite.
Osservo anche che il rapporto $(g(x))/(f(x))=1/sin(1/(x-1))$ presenta infiniti punti di discontinuità e nemmeno in questo caso il limite esiste.

[delca85]

Sì, avevo pensato anch'io di utilizzare la funzione seno. Però la $f$ così definita non ammette $1$ all'interno del dominio mentre nel testo $dom f= [0,2]$.
Grazie!

[maurer]

Allora proviamo in questo altro modo: $f(x)=|x-1|$ e $g(x)=x-1$. Entrambe sono definite in $[0,2]$, entrambe sono infinitesime per $x \to 1$; e il limite destro è diverso da quello sinistro. Può andare?

[delca85]

Eccome se può andare! Grazie mille. E' giusto dire che 1 sarà sempre punto d'accumulazione per $f(x)/g(x)$, vero?
Grazie ancora!

[maurer]

Beh, direi proprio di sì... comunque basta fare una rapida verifica: se 1 è punto d'accumulazione per il dominio di $f(x)/g(x)$ allora $AA\epsilon>0text{ }(1-\epsilon,1+epsilon)-{1}\nn[0,2]!=\phi$; bene, ma allora se consideriamo $\epsilon<1$ si ottiene che $0<1-\epsilon<1+\epsilon<2=>(1-\epsilon,1+\epsilon)-{1}\sub[0,2]=>(1-\epsilon,1+\epsilon)-{1}\nn[0,2]=(1-\epsilon,1+epsilon)-{1}!=\phi$. D'altronde se consideriamo $\epsilon>=1$ si trova che la proprietà è verificata lo stesso, visto che questo tipo di intorni (con $\epsilon>=1$) contiene tutti quelli analizzati prima (con $\epsilon<1$). Allora la proprietà vale $AA\epsilon>0$ e 1 è un punto di accumulazione per $domf(x)/g(x)$.