Problema con es sui moltiplicatori di Lagrange

[Aletzunny1]

$max$ e $min$ assoluti di $f(x,y)=x^4+y^4-8(x^2+y^2)$ su $E={x^2+y^2=9}$

ho sostituito il vincolo $E$ in $f(x,y)$ ottenendo $f(x,y)=x^4+y^4-72$ e poi usando i moltiplicatori ottengo

$L(x,y,lambda)=x^4+y^4-72+lambda*(x^2+y^2-9)$ e calcolando le derivate parziali di $L$ ottengo il sistema

$\{(4x^3+2lambda*x=0),(4y^3+2lambda*y=0),(x^2+y^2=9):}$

sommando le prime due equazioni ottengo e usando la scomposizione di $a^3+b^3$ ottengo
$(x+y)*(x^2-xy+y^2-lambda)=0$ da cui però non riesco a ricava i punti $(0,+-3)$ e $(+-3,0)$ come da soluzione.

qualcuno saprebbe aiutarmi?
grazie

[l'abatefarina]

a parte il fatto che non penso sia lecito utilizzare già il vincolo nella costruzione di $L$ ,e quindi che la funzione da analizzare sia
$L(x,y,lambda)=x^4+y^4-8(x^2+y^2)+lambda(x^2+y^2-9)$
da qui esce fuori il sistema $ { ( 4x^3-16x+2lambdax=0 ),( 4y^3-16y+2lambday=0 ),( x^2+y^2=9 ):} $
mettendo in evidenza si ha

$2x(2x^2-8x+lambda)=0$
$2y(2y^2-8y+lambda)=0$
$x^2+y^2=9$

quindi è chiaro che ci sono le soluzioni $(0,+-3)$ e $(+-3,0)$
poi si dovrebbero tirare fuori altre soluzioni da
$ { ( x^2-4x=y^2-4y ),( x^2+y^2=9 ):} $
che è un sistema per nulla simpatico
quindi ,se il metodo dei moltiplicatori non è stato prescritto espressamente dal medico , io sceglierei la via più semplice e quindi anche più intelligente
posto $y^2=9-x^2$, ti vai a studiare la funzione
$g(x)=x^4+(9-x^2)^2+72$ con $-3<=x<=3$
trovate le $x$ di massimo e minimo assoluto calcoli poi le rispettive $y$

[Aletzunny1]

ciao...allora quella di sostituire il vincolo l'ho visto fare dal mio prof e dunque sono andato diciamo sul sicuro.

Allora volevo usare Lagrange perchè così avevo la certezza della correttezza ma in effetti il metodo da te proposto ha molto più senso..

dunque posto $y^2=9-x^2$ $#$ con la condizione $-3<=x<=3$ studio la funzione $h(x)=x^4+(9-x^2)^2+72$ e le $x$ dei massimi e dei minimi di $h(x)$ che trovo mi portano, sostituendo in $#$ , ai trovare i max e i min di $f(x,y)$ corretto?

tuttavia poi devo considerare anche gli estremi della condizione no? cioè semplicemente calcolare $f(3,0)$ e $f(-3,0)$

grazie

[l'abatefarina]

allora, la funzione $h(x)$ definita nel compatto $[-3,3]$ assume massimo e minimo assoluto o nei punti interni in cui si annulla la derivata o agli estremi
$h'(x)=4x(2x^2-9)$ e quindi si annulla in $0$ o in $+-3/sqrt2$
$h(0)=h(+-3)=153; h(+-3/sqrt2)=225/2$
quindi la funzione $f(x,y)$ , sulla circonferenza $x^2+y^2=9$, ha massimo assoluto in $(0,+-3)$ e $(+-3,0)$
ha minimo assoluto in $(3/sqrt2,3/sqrt2);(3/sqrt2,-3/sqrt2); (-3/sqrt2,3/sqrt2); (-3/sqrt2,-3/sqrt2)$

[Aletzunny1]

grazie! facendo tutti i conti così in effetti è molto più veloce che usando Lagrange

[Bokonon]

"l'abatefarina":ti vai a studiare la funzione
$g(x)=x^4+(9-x^2)^2+72$ con $-3<=x<=3$
trovate le $x$ di massimo e minimo assoluto calcoli poi le rispettive $y$

Non è $-72$?

[l'abatefarina]

sìsì è -72 , hai ragione, ma la sostanza non cambia perchè fortunatamente le ascisse dei punti di massimo e minimo assoluto restano quelle

[qualcuno4]

"l'abatefarina":poi si dovrebbero tirare fuori altre soluzioni da
$ { ( x^2-4x=y^2-4y ),( x^2+y^2=9 ):} $

è un sistema semplicissimo!

[gio73]

Ciao qualcuno
il tuo commento nn aggiunge molto al thread
se vuoi puoi risolvere il sistema

[qualcuno4]

$\begin{cases}
x^{2}-y^{2}=4(x-y)\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases}$

$\begin{cases}
(x-y)(x+y)=4(x-y)\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases}$

$\begin{cases}
(x-y)(x+y-4)=0\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases}$

Sistema A

$\begin{cases}
x-y=0\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases}$

$\begin{cases}
x=y\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases}$

$\begin{cases}
x=\pm\frac{3}{\sqrt{2}}\\
y=\pm\frac{3}{\sqrt{2}}
\end{cases}$

Sistema B

$\begin{cases}
x+y-4=0\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases}$

$\begin{cases}
x+y=4\\
(x+y)^{2}-2xy=9
\end{cases}$

$\begin{cases}
x+y=4\\
16-2xy=9
\end{cases}$

$\begin{cases}
x+y=4\\
xy=\frac{17}{2}
\end{cases}$

Risolvente

$$t^{2}-4t+\frac{17}{2}=0$$

$2t^{2}-8t+17=0$

$\frac{\Delta}{4}=16-34=-18<0$

Nessuna soluzione.
Roba di secondo liceo.

[l'abatefarina]

@qualcuno

bravissimo; ora ti senti realizzato?

da ora in poi quando ci sarà un lavoro di bassa manovalanza da fare ti terrò presente

[qualcuno4]

"l'abatefarina":da ora in poi quando ci sarà un lavoro di bassa manovalanza da fare ti terrò presente

Ti ringrazio sei molto gentile

[l'abatefarina]

non c' è di che , sono sempre gentile con le persone arroganti
"roba da seconda liceo"
infatti tu di tutto l'esercizio giusto quello potevi risolvere, lascia le cose più impegnative ai grandi

p.s: non chiudete questo thread, ho solo messo a posto uno che se lo meritava e mi sono espresso in termini sprezzanti ma civili

[Zero87]

"l'abatefarina":non chiudete questo thread, ho solo messo a posto uno che se lo meritava e mi sono espresso in termini sprezzanti ma civili

Non sono mod di analisi e non posso chiudere il post, ma vi invito a farla finita; ci si provoca e si litiga abbastanza nella vita reale, qui possiamo anche farne a meno.

Poi non vi lamentate se un altro mod che ha il potere di farlo arriva qui, tira le orecchie agli utenti e chiude le discussioni...

[l'abatefarina]

sì ma non si può mettere sullo stesso piano chi provoca e chi risponde

[l'abatefarina]

vabbè, magari gli mando un messaggio privato ,se vuole prendiamo un appuntamento e ci chiariamo faccia a faccia

[Zero87]

"l'abatefarina":vabbè, magari gli mando un messaggio privato ,se vuole prendiamo un appuntamento e ci chiariamo faccia a faccia

Se pensi di aver subito un torto, scrivi a un moderatore di sezione (quelli segnati per l'analisi) o a un moderatore globale (di recente ho visto solo Gugo attivo), segnali la situazione e vedrai che chi ha sbagliato riceverà una tirata d'orecchie.

Ragazzi, davvero, mantenete la calma e se c'è qualcosa che non va, ditecelo. Forse non risponderemo al volo - in fondo anche noi siamo in ferie (e io sono uno dei pochi che preferisce il forum al mare, immagino ) - ma è di certo più civile che insultarsi qui.
La vita è tanto difficile, fidatevi, non ne vale la pena.

(e finisco l'OT perché non sono moderatore di sezione e non sono, dunque, esente da richiami qui )

[l'abatefarina]

grazie zero87, si vede che sei una persona veramente a posto